RES: [obm-l] Existencia de limite

[Artur Costa Steiner <artur.steiner@xxxxxxxxxx>]

Estah perfeito, mas creio que hah um detalhe um tanto sutil. Foi demonstrado
que, se x_n eh uma sequencia qualquer em D - {a} que converge para a, entao
a sequencia imagem f(x_n) converge para algum L. Mas creio que o detalhe que
ainda falta eh mostrar que, para todas estas sequencias (x_n), as
respectivas imagens f(x_n) convergem todas para um mesmo L. Ai, sim, teremos
mostrado a existencia do limite.  Uma sugestao para fazer isso: se u_n e v_n
sao sequencias em D -{a} que convergem para a, definamos z_n como a
sequencia "embaralhada" de u_n e v_n, isto e, z_1 = u_1, z_2 = v_1, z_3 =
u_2, z_4 = v_2... .

Artur  

-----Mensagem original-----
De: owner-obm-l@mat.puc-rio.br [mailto:owner-obm-l@mat.puc-rio.br]Em
nome de claudio.buffara
Enviada em: quinta-feira, 1 de junho de 2006 10:11
Para: obm-l
Assunto: Re:[obm-l] Existencia de limite


---------- Cabeçalho original -----------

De: owner-obm-l@mat.puc-rio.br
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Cópia: 
Data: Wed, 31 May 2006 20:33:58 -0700 (PDT)
Assunto: [obm-l] Existencia de limite

> A demonstracao do fato a seguir tem, na minha opiniao,
> uns detalhes interessantes. Eh uma extensao do
> criterio de Cauchy a funcoes gerais.
> 
> Seja f definida em um subconjunto D de R e com valores
> em R. Se a eh ponto de acumulacao de D, entao f
> apresenta limite real em a se, e e somente se, para
> todo eps >0 existir d >0 tal que, para todos x_1 e x_2
> de D que satisfacam a 0 < |x_1 - a| < d e  0 < |x_2 -a
> | < d, tivermos |f(x_1) - f(x_2| < eps. A demonstracao
> da parte "somente" eh imediata, a parte "se" eh que eh
> mais interessante 
> 
> Esta conclusao eh imediatamente extendida para funcoes
> de um espaco metrico em um espaco metrico completo.
> 
> Artur
> 
>  
Oi, Artur:

Ve se isso faz sentido...

Tome uma sequencia (x_n) de elementos de D tal que x_n -> a.
Seja (y_n) dada por y_n = f(x_n).

Seja eps > 0.
Tomemos o d > 0 correspondente, de acordo com a condicao do enunciado.
Como x_n -> a, existe N tal que n > N ==> |x_n - a| < d
Assim, m, n > N ==> |x_n - a| < d e |x_m - a | < d ==> |y_m - y_n| < eps.
Logo, (y_n) eh uma sequencia de Cauchy, e portanto, converge, digamos para
L.
Em outras palavras, se x_n -> a entao y_n = f(x_n) -> L.
Como (x_n) foi tomada arbitrariamente (ou seja, eh uma sequencia qualquer
com limite a), temos que f(x) -> L.

[]s,
Claudio.   


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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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