Re: [obm-l] sobrejetividade e abertos

Em 26/05/06, Artur Costa Steiner <artur.steiner@mme.gov.br > escreveu:

Qual topologia estah definida em L? para falarmos em conjuntos abertos de L,
temos necessariamente que estabelecer uma topologia, que possivelmente se
origina de uma norma definida em L.

Se F eh o conjunto das funcoes definidas em um conjunto X e com valores em
R, uma forma usual de se normar F e definir a norma ||.|| de cada um de seus
elemntos f por ||f|| = supremo{|f(x| | x estah em X}. Se f tiver valores em
R^m, a mesma definicao se aplica, bastando considerar |f(x)| como a norma
euclidiana do vetor f(x). Mas para que estah definicao atenda aas
propriedades de uma norma (um mumero real >=0), eh necessario que F seja
composto por funcoes limitadas, a menos que se admita que a norma possa ser
infinita.

No caso bem simples em que m= n =1 e as funcoes sao continuas, L eh a
familia da funcoes f:R->R dadas por f(x) = k*x, k em R. Todas sao bijetoras.
Mas se normarmos L conforme acima definido, todas a funcoes terao norma
infinita e a distancia ||f1 - f2|| entre 2 funcoes distintas de L eh sempre
infinita. Se, entretanto, restringirmos as f de L a um compacto de R, um
intervalo fechado e limitado, por exemplo, entao a definicao fica bem clara
e L torna-se um espaco metrico.

Artur

-----Mensagem original-----
De: owner-obm-l@mat.puc-rio.br [mailto:owner-obm-l@mat.puc-rio.br]Em
nome de Felipe Nobili
Enviada em: terça-feira, 23 de maio de 2006 17:19
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Assunto: [obm-l] sobrejetividade e abertos

Seja L(R^n,R^m) o conjunto das transformações lineares
de R^n -> R^m. como provar que as transformações
lineares sobrejetivas formam um conjunto aberto em
L(R^n,R^m)?
Como provar que as transformações lineares injetivas
também forma conjunto aberto?

obrigado.

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