[obm-l] RE: [obm-l] ajuda em questão

["Paulo Santa Rita" <paulosantarita@xxxxxxxxxxx>]

Ola Thor e demais colegas
desta lista ... OBM-L,

O problema e muito simples e existem varias formas de faze-lo ... Eis uma 
maneira com sabor grego :

IMAGINE que o conjunto A que voce descreve abaixo esta pronto. Mentalmente, 
pegue-o e coloque-a no chao. Olhe agora por cima. O que voce ve ? Entre 
muitas outras coisas voce vera que

1) A projecao ortogonal O do vertice V do tetraedro sobre o triangulo 
equilatero de base ABC e o centro deste triangulo, vale dizer, O esta a uma 
distancia (R*raiz_qua(3))/3 de qualquer dos lados de ABC.
2) Se P e o pe da perpendicular a AB tracada por V entao VP e apenas uma 
altura de um triangulo equilatero de lado 2R, valendo portanto 
(R*raiz_qua(3)).
3) O triangulo VOP e retangulo e, por pritagoras, OV = (2R*raiz_qua(2))/3

Fixe agora a sua IMAGINACAO na face ABV. Por V, A e B ( saindo para fora do 
tetraedro ) IMAGINE respectivamente segmento VE, AF e BG todos de 
comprimento R e todos perpendiculares ao plano que contem o triangulo ABV. O 
triangulo EFG e claramente congruente ao triangulo ABV.  Seja H o pe da 
perpendicular a FG tracada por E.

Acabou, certo ?

Prolongando HE para cima, ela encontrara o prolongamento da altura VO do 
tetraedro num ponto, digamos, M. Prolongando HE para baixo ela encontrara o 
chao num ponto, digamos, N. Existe aqui uma obvia semelhanca de triangulo e 
o comprimento de MN e a altura de uma face do menor tetraedro que 
circunscreve a estrutura que voce descreveu.

Voce completa, ok ?

E a todos, com os melhores
votos de paz profunda, sou
Paulo Santa Rita
5,2230,180506

Esqueci de indicar outras maneiras de fazer ... Aqui vai  o esboco de uma 
outra : Fixe o centro de ABC na origem de um sistemas de eixos cartesianos. 
Com dados que indiquei calcule as equacoes dos planos EFG para cada face. 
Monte um sistema com estas equacoes. A solucao do sistema e o vertice do 
tetraedro que procuramos.




>From: Thor <thor@hotlink.com.br>
>Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
>To: obm-l@mat.puc-rio.br
>Subject: [obm-l] ajuda em questão
>Date: Thu, 18 May 2006 18:44:55 -0300
>
>Gostaria de uma ajuda na seguinte questão, O conjunto A consiste de 4 
>esferas de
>raio R, cujos centros coincidem com os vértices de um tetraedro regular de
>aresta 2R.Qual a aresta do tetraedro regular que pode ser circunscito a A?

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