[obm-l] RES: [obm-l] Problema de Cálculo

[Artur Costa Steiner <artur.steiner@xxxxxxxxxx>]

Facamos f(x) = e^(2x) - k*sqrt(x). Para todo real k, temos que f(0) = 1 e
que f(x) --> oo quando x --> oo.
Se k<=0, f eh estritamente postiva em [0, oo). Logo, f so podera admitir
zeros se k>0. Temos que f'(x) = 2*e^(2x) - k/(2*sqrt(x). A funcao 2*e^(2x)
eh estritamente crescente em (o, oo) ao passo que k/(2*sqrt(x) eh
estritamente decrescente. A primeira tende a 2 en x=0+ e a segunda tende a
oo. Quando x ---> oo, a primeira tende a oo e a sgunda tende a zero.  Assim,
temos f'(a) = 0 para um e somente um a>0 e, neste ponto x=a, f passo por um
minimo global.   Se em x=a tivermos f(a) = 0, entao  f se anula neste ponto
e apenas nele.

Temos assim que resolver o sistema de equacoes: 

e^(2a) = k*sqrt(a)
2*e^(2a) =k/(2*sqrt(a))

Dividindo membro a membro, jah que nao sao nulos, temos 1/2 = sqrt(a) * 2 *
sqrt(a) = 2a => a = 1/4.

Logo, e^(1/2) = k * sqrt(1/4) => k = 2*e^(1/2).

Faca um grafico para ver se nao hah nenhum engano.

Artur


-----Mensagem original-----
De: owner-obm-l@mat.puc-rio.br [mailto:owner-obm-l@mat.puc-rio.br]Em
nome de bernardoakino
Enviada em: domingo, 14 de maio de 2006 03:16
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Assunto: [obm-l] Problema de Cálculo


Caros colegas da lista, 
   Eu não sei se esse problema já foi discutido anteriormente aqui, mas ele 
esta me tirando algumas horas de sono... Se alguem puder me dar uma 
ajudinha, eu ficaria bastante agradecido: 

Para quais valores de k a equação e^(2x)=k.sqrt(x) tem exatamente uma 
solução? 

Um abraço a todos 
Bernardo 



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