[obm-l] Re: [obm-l] Problema de Cálculo

["Ronaldo Luiz Alonso" <rlalonso@xxxxxxxxxx>]

>
> Para quais valores de k a equação e^(2x)=k.sqrt(x) tem exatamente uma
> solução?

Essa aí é uma questão de sistemas dinâmicos discretos (vulga teoria do 
caos).
Note que podemos escrever:

2x = ln k + (1/2) ln x
  x = (ln k)/2  + (1/4) ln x

Agora  ela está na forma:

   x = f(x)
com f(x) = (ln k)/2 + (1/4) ln x

Ou então:

   e^(4x ) = k^2 x
   e^(4x)/ k^2 = x
   x = g(x) com g(x) =  e^(4x)/ k^2

Vamos nesta g(x) que parece ser mais amigável.
  Podemos escrever:

e^(4x) = 1 + (4x) + (4x)^2/2  (por Taylor).
           = 1 + (4x) ( 1 + 2x)

logo:

e^(4x)/k^2 = 1/k^2 + (1/k^2) (4x) ( 1 + 2x)
  g(x) =  1/k^2 + (1/k^2) (4x) ( 1 + 2x)

  colocando y = 2x

  g(y/2)        = 1/k^2 + (1/k^2) 2y(1+y)
      g(y/2)     = 1/k^2 + (2/k^2) y(1+y)
 g(y/2) - 1/k^2 = (2/k^2) y(1+y)

colocando agora (2/k^2) = n  e  g(y/2) - 1/k^2 = h(y)

temos:

   h(y) = n y (1+y)

Colocando z = -y temos:

 w(z) =  h(-z) = -n z (1-z)

colocando -n = m temos finalmente (ufa!):

  w(z) = mz(1-z)

Voilá !   w(z)  é chamada de EQUAÇÃO LOGÍSTICA, que é
famosa na teoria do Caos.   Ela admite uma única solução
(ponto fixo) quando 0< m < m*    onde m* é o parâmetro
correspondente à primeira bifucarcação:

     http://en.wikipedia.org/wiki/Logistic_map

    Tudo que você tem a fazer agora é trocar as variáveis, voltar e resolver
az inequações/equações acima.
   Espero não ter errado nenhuma conta.
Abraços!

Ronaldo.





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> Um abraço a todos
> Bernardo
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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