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[obm-l] RES: [obm-l] Re:[obm-l] Condição (mais geral) para diferenciabilidade de uma função
Com
relação a este assunto que o Alencar levantou, eh interessante observar que a
condicao que citei e que garante a diferenciabilidade, ainda hoje nao
parece ser muito conhecida. A maioria dos livros - destacando-se o do a grande
Bartle (infelizmente falecido em 2003) - e, creio eu, tambem odo Rudin, assumen
continuidade de todas as derivadas parciais em uma bola aberta contendoo ponto
em questão. Entretanto, Apostol, em seu livro Real Analysis, mostra que que, com
relacao a uma das derivadas parciais , basta assumir a existencia unica e
exclusivamente no ponto.
Talvez
a condicao mais geral tenha passado desapercebida a outros autores, embora
Apostol não afirme ter sido ele o 1o a perceber que a diferenciabilidade eh
garantida em condicoes menos rigidas e não alegue qualquer originalidade de sua
prova. Com relação ao livro do Erlon, eu não conheco
ainda.
Um
fato curioso: Em 2002 eu citei este resultado, que vi no livro do Apostol, na
lista internacional sci.math . O grande David Ulrich, da universidade de
Oklahoma, um top dog mundial da Análise, comentou que não conhecia a
conclusão. Disse "Eu não conhecia este resultado, mas eh de fato verdade e
facil de provar" E deu a prova dele, muito parecida com a do Apostol. Pra ele
era imediato...Mas ateh entao ele nao sabia.
Aqueles que como eu jah pesquisaram diversos livros de Analise,
provavelmente jah notaram - o que confunde um tanto os leitores - que as
hipoteses assumidas pelos autores com relacao a diversos teoremas nao sao
exatamente as mesmas. Exemplos: teorema de Taylor (algumas vezes se
admitem continuidaes nao necessarias), teorema do valor medio para o caso
n-dimensional , n>1, e, ateh mesmo, o teorema fundamental do calculo
integral. Naqueles teoremas sob integracao e diferianciacao envolvendo um
parametro, como a formula de Leibiniz, frequentemente encontram-se hipoteses nao
exatamente iguais. E, na análise no R^n, aqueles teoremas sobre
permutacao na ordem em que se realizam as derivdas parciais tambem sao
frequentemente apresentados com hipoteses que variam de autor para
autor.
l
Artur
[Artur Costa Steiner]
-----Mensagem
original-----
De: owner-obm-l@mat.puc-rio.br
[mailto:owner-obm-l@mat.puc-rio.br]Em nome de
claudio.buffara
Enviada em: terça-feira, 2 de maio de 2006
12:23
Para: obm-l
Assunto: [obm-l] Re:[obm-l] Condição (mais
geral) para diferenciabilidade de uma função
Veja o livro Curso de Análise - vol. 2 do Elon Lages Lima, em particular
a observação que se segue ao Teorema 1 do cap. III - seção 3.
[]s,
Claudio.
| De: |
owner-obm-l@mat.puc-rio.br |
| Para: |
"obm-l"
obm-l@mat.puc-rio.br |
| Data: |
Tue, 2 May 2006
08:58:45 -0300 |
| Assunto: |
[obm-l] Condição
(mais geral) para diferenciabilidade de uma
função |
> Encontrei esta questão em um outro forum:
>
> Achei interessante mas não consegui resolver até agora. Alguém
poderia me dar alguma luz.
>
> Abaixo reescrevo a questão (que aparentemente foi retirada do Spivak
- Calculus on Manifolds).
>
> Seja f: R^{2} -> R.
>
> As derivadas parciais existem em uma vizinhança do ponto
(a,b).
> APENAS uma das derivadas parciais é continua em (a,b).
> Então
> f é diferenciável em (a,b).
>
> Em todos os livros que estudei, lembro apenas de ter visto
este resultado com a hipótese de que TODAS as derivadas parciais eram
continuas no ponto de interesse.
>
> []'s