Re: [obm-l] Determinar imagem

["Henrique Rennó" <henrique.renno@xxxxxxxxx>]

Olá Miguel e pessoal da lista!!!

A imagem de uma função são todos os valores que ela pode assumir a
partir de todos possíveis valores do domínio.

(1) Como existe uma raiz quadrada, e acredito que o domínio pertence
aos números reais, o que está dentro da raiz (radicando) precisa ser
maior ou igual a zero. Portanto:
x*(x-2) >= 0

Para que a multiplicação acima seja maior ou igual a zero, temos que
verificar para quais valores de x isso é verdadeiro (ambos os termos
-- x e x-2 -- positivos ou ambos negativos). Separando os dois termos
sendo multiplicados, x >= 0 e x-2 >= 0.

Se colocarmos em uma linha reta que representa os valores reais:

x >= 0 -->                  
........-.........0........+........2............+.........
x-2  >= 0 --> x >= 2 ->
........-.........0........-.........2...........+.........
x*(x-2) -->                  
........+........0........-.........2...........+.........

Os sinais na última linha são encontrados utilizando as regras de
multiplicação (sinais iguais dá +, diferentes dá - ).

Dessa forma, quando calculamos f(2+) obtemos 0+ e f(0-) obtemos 0+, ou seja,
Imagem = [0, inf).

Os sinais de + e de - que coloquei ao lado dos números significa que
continua à direita ou esquerda, aumentando os valores ou diminuindo.

O gráfico seriam duas meia-parábolas (só os valores de y positivos)
com eixo de simetria no eixo y e simétricas entre si pela reta x = 1;

(2) Como a função possui denominador e este não pode assumir o valor
0, temos que x^2+x-12 <> 0 e x+3 <> 0, o que nos dá x <> -4, x<> 3
(raízes da primeira equação) e x <> -3 (raíz da segunda equação).
Esses são pontos de descontinuidade, não existe um valor definido para
g(x) nestes pontos.

Podemos tentar simplificar a função e facilitar a visualização de sua
imagem. Para simplificar distribui-se os termos de ambos numerador e
denominador, sendo que depois efetua-se uma divisão dos dois
polinômios encontrados:

(x^2+3x-4)*(x^2-9) = x^4-9x^2+3x^3-27x-4x^2+36 = x^4+3x^3-13x^2-27x+36
(x^2+x-12)*(x+3) = x^3+3x^2+x^2+3x-12x-36 = x^3+4x^2-9x-36

Assim, a função pode ser reescrita: (x^4+3x^3-13x^2-27x+36)/(x^3+4x^2-9x-36)

Após efetuar a divisão dos polinômios, chega-se ao quociente x-1 e ao
resto 0 (o polinômio do numerador é divisível pelo do denominador), o
que mostra que a função é uma reta.

Para efetuar a divisão, coloque o polinômio do numerador na esquerda e
o do denominador na direita do "L" da divisão (não lembro o nome deste
símbolo) assim como para a divisão de dois números. A divisão é
realizada pegando-se o primeiro termo do polinômio do numerador e
divindo-se pelo primeiro termo do polinômio do denominador, ou seja,
x^4 / x^3 = x que nos dá o primeiro termo no quociente. Multiplica-se
este termo x por todos os termos do polinômio do denominador e
subtrai-se do polinômio do lado esquerdo do "L", nos dando um resto
igual a -x^3-4x^2+9x+36. Depois pega-se o primeiro termo no resto,
-x^3, e divide-se pelo primeiro termo do divisor (polinômio do
denominador), o que nos dá -1. Novamente, multiplica-se -1 por todos
os termos do divisor e subtrai-se do polinômio que é o resto da
divisão anterior, o que dará 0 como resto e x-1 como quociente.

Portanto, a imagem da função g(x) são todos os números reais (uma
função do 1º grau como x-1 pode assumir quaisquer valores) exceto nos
pontos -4, -3 e 3 em que a função não é definida quando colocada na
forma de divisão anterior.

Qualquer dúvida ou alguma coisa que escrevi errado me avisem,

Abraços!!!

On 4/7/06, Miguel <m_mossoro@yahoo.com.br> wrote:
>
> Olá a todos.
> Qual o procedimento para determinar imagens de funções numéricas? tipo:
> (1) f(x) = raiz(x(x - 2))
> (2) g(x) = (x^2 + 3x - 4)(x^2 - 9)/(x^2 + x - 12)(x + 3)
> Desde já, agradeço.
>
>
>
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>
>


--
Henrique
"Não há ninguém que seja tão grande que não possa aprender e nem tão
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