[obm-l] Subgrupo aditivo inteiro - Ve rificação de validade de prova

["Daniel S. Braz" <dsbraz@xxxxxxxxx>]

Senhores,

 

Estou precisando de ajuda para provar o seguinte fato:

 

Um subconjunto H contido em Z (Inteiros) é um subgrupo do grupo aditivo Z se, e só se, existe m pertence H,
tal que H = {km|k pertence Z}

 

Em pensei em algo desse tipo:

Sejam am, bm elementos de H. Seja -bm o simétrico de bm
am - bm = m(a-b) -> H é um subgrupo do grupo aditivo Z (i)

Seja m um elemento de H, seja a um elemento de Z
am = m+m+...+m (a vezes) -> am é um elemento de H (ii)

Se existe m em H tal que H = {km|k pertence Z}, então m é o menor inteiro possitivo de H.
Digamos que exista um inteiro possitivo em H menor do que m tal que tal que H = {km|k pertence Z}.
Chamemos este inteiro de n. Dai vem n = mx (x inteiro possitivo), já que n está em H, então mx < m
o que é ímpossivel. (iii)

Digamos que não exista m de H tal que H = {km|k pertence Z}, então deve existir pelo menos um elemento
de H que não é da forma km, chamemos esse elemento de b. De (ii) sabemos que bm está em H. Logo
bm-b = b(m-1) deve estar em H. Mas de (iii) sabemos que isto é impossível já que m-1 é menor do que m.

 

Não tenho certeza se está tudo certo. Além disso me pareceu complicado demais. Alguém poderia, por favor

conferir se está certo? Se alguém conhecer/souber uma prova mais simples eu gostaria de ver.

 

obrigado.

 

Daniel.