[obm-l] Álgebra - Grupos aditivos e multiplicativos

["Daniel S. Braz" <dsbraz@xxxxxxxxx>]

Senhores,

 

[Problema do livro de álgebra do Iezzi, capítulo IV - Grupos e Subgrupos]

 

Seja A um subconjunto não vazio. Seja AR o conjunto das aplicações de A em R (R=Reais).
Definimos uma operação de adição e multiplicação em AR, para funções de A em R, da seguinte
maneira:

(f+g)(x) = f(x) + g(x)
(f*g)(x) = f(x)*g(x)

a) Mostre que AR dotado da adição possui a estrutura de um grupo.
b) Mostre que AR dotado da multiplição não possui, em geral, a estrutura de um grupo.

a)
(f+g)+h = f+(g+h) -> É associativa
f+e = f -> e = 0 -> Possui elemento neutro
f+f^(-1) = e -> f^(-1) = -f -> Aqui está minha dúvida, f^(-1) é uma função de R em A,
então -f(x) não necessariamente estará em A...
Ex.: A = {1,2} ; f(x) = x + 1 -> f^(-1)(x) = -x-1 -> f^(-1)(x) não está em A.
onde estou errando?

 

b)
(f*g)*h = f(*g*h) -> É associativa
f*e = f -> e = 1 -> Possui elemento neutro
f*f^(-1) = e -> f^(-1) = 1/f -> A mesma dúvida...

 

obrigado.

 

Daniel.