Para que o algarismo das
unidades do quadrado do número seja ímpar, o número deve ser
ímpar.Podemos representar qualquer natural ímpar como sendo 10a+b, onde a é
natural e b é ímpar entre 1 e 9.
(10a + b)^2 = 100a^2 + 20ab +
b^2
Vamos verificar a paridade do
algarismo da dezena:
- veja que o primeiro termo é
multiplo de 100, portanto não altera o algarismo da dezena.
- veja que o segundo termo é um
número par (2ab) multiplicado por 10, logo só pode gerar um algarismo par para
dezena.
- veja que b^2 é o quadrado de
um ímpar entre 1 e 9, logo deve ser:1, 9, 25, 49 ou 81. Assim sendo ele só pode
contribiur para dezena adicionando 2, 4 ou 8. Não altera assim o fato da dezena
ser par.
Concluímos que todo número ímpar
elevado ao quadrado possui algarismo da dezena par. Portanto somente há dois
números naturais cujos quadrados se escrevem utilizando apenas algarismos
ímpares: 1 e 3.
Abraços,
Raul
----- Original Message -----
Sent: Tuesday, March 21, 2006 2:46
PM
Subject: Re: [obm-l] quadrados
perfeitos
Esse problema é bastante difícil.
Consultando os arquivos, verifiquei que não houve
resposta.
Vou tentar esboçar alguns caminhos para
solução.
Primeiro note que o ÚLTIMO algarismo do
número é impar.
Então para algarismos de 1 número temos
que
-->1
-->9
são os únicos
números ímpares que satisfazem esse critério.
Ao pesquisar algarismos com dois números,
verificamos que eles não
existem. OU SEJA não existem algarismos de
2 números com quadrado perfeito
composto apenas por algarismos ímpares.
Vamos tentar entender porque:
(10x + y)^2 = 100x^2 + 10xy +
y^2
onde x e y são dígitos
veja que temos 3 dígitos de modo que para o
número ter 2 dígitos temos que x = 0.
Neste caso resta apenas y^2. Examinando
todos os quadrados perfeitos até 100 descobrimos
que não há nenhum número nestas
condições.
Troque agora x por 10x_1 +x_2 e repita o
raciocínio acima.
Tentaremos verificar todos os números de 3
dígitos que tem quadrado perfeito composto por ímpares.
(10(10x_1 +x_2)+y)^2 = 100(10x_1+x_2)^2 +
10(10x_1 +x_2) + y^2
= 100 (100x_1^2 + 20x_1x_2 + x_2^2) + 100x_1 + 20x_1x_2 +x_2^2 _
y_2^2
= 1000x_1^2 + 2020x_1x_2 + 100x_1 + (x_2^2 + y_2^2)
Note que se x_2^2 + y_2^2 for um quadrado
perfeito de dois números então tem que ter os dois
algarismos ímpares, o que não é possível.
Também não podem ser de um número pois a combinação
dá par. Então concluímos que x_2^2 + y_2^2
tem 3 números...
Não sei se dá para ir adiante com
essas idéias.
Prefiro deixar as pessoas mais especialistas como
Yuzo Shine criticarem-nas.
Ronaldo L . Alonso
----- Original Message -----
Sent: Tuesday, March 21, 2006 12:41
PM
Subject: Re: [obm-l] quadrados
perfeitos
Olá Raul e lista,
Tive problemas no recebimento durante alguns dias
dos emails da lista.
E gostaria saber se alguem postou alguma solução para este
problema.
Grande abraço,
Felipe Sardinha
Raul <euraul@terra.com.br>
escreveu:
Boa noite!
Encontrar todos os números
naturais cujos quadrados se escrevem, na base 10, usando apenas algarismos
ímpares.
Agradeço
soluções.
Raul
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