Re: [obm-l] Exercícios

[Iuri <iurisilvio@xxxxxxxxx>]

1) Teorema: Se a+b+c=0 => a³+b³+c³=3abc

(a+b+c)²=a²+b²+c² +2(ab+ac+bc)=a²+b²+c²+2[a(b+c)+bc]=0

Como b+c=-a temos: a²+b²+c²+2[bc-a²]=0 => a²+b²+c²=2(a²-bc) => b²+c²=a²-2bc

Elevando ambos os lados ao quadrado: b^4+c^4 +2(bc)^2=a^4+4(bc)^2-4(a^2)bc => a^4+b^4+c^4=2[a^4+ (bc)^2 - 2(a^2)bc] => a^4+b^4+c^4=2(a^2-bc)^2

(a^3+b^3+c^3)*(a²+b²+c²)=3abc * 2(a^2-bc)

a^5+b^5+c^5 + a^3*b^2 + a^3*c^2 + b^3*c^2 + b^3*a^2 + c^3*a^2 + c^3*b^2= a^5+b^5+c^5 + a^2*b^2(a+b) + c^2(a+b)(a^2+b^2 -ab) + c^3(a^2 + b^2) = a^5+b^5+c^5 - a^2*b^2*c -c^3(a^2+b^2 -ab) + c^3(a^2 + b^2) = a^5+b^5+c^5 - a^2*b^2*c + c^3(a^2 + b^2 - a^2 - b^2 +ab)  => a^5+b^5+c^5 - a^2*b^2*c + (c^3)*ab = 3abc * 2(a^2-bc) = 6abc(a^2-bc) => a^5+b^5+c^5 = abc(ab-c^2) +abc(6a^2-6bc)=abc(6a^2-6bc+ab-c^2)

Substituindo tudo na equacao inicial:

 [(a^3 + b^3 +c^3)^2 * (a^4 + b^4 + c^4)]/ (a^5 + b^5 + c^5) = (3abc)^2 *2(a^2-bc) / [abc(6a^2-6bc+ab-c^2)] = 18(a^2-bc)/(5a^2-6bc+ab+a^2-c^2)=18(a^2-bc)/(5a^2-6bc+ab-(a-c)*b)=18(a^2-bc)/(5a^2-5bc)=18/5


Ficou um tanto complicado... A questao original eh um teste, entao bastaria substituir um a+b+c=0 qualquer, por exemplo (1,1,-2) que chegaria ao resultado.





2) 48*2^(-x²+2x)=(2^4)*3*2^(-x²+2x)

O valor maximo de uma equacao ax²+bx+c=0 é -b/2a, entao o valor maximo de -x²+2x é -2/2*(-1)=1

O maior numero de divisores ocorre quando o expoente for o maior possivel, portanto teremos para x=1: (2^4)*3*2^(-x²+2x)=(2^5)*(3^1)

O numero de divisores é 6*2=12

On 3/6/06, Diego Alex <diego.alex.silva@gmail.com > wrote:

Alguém ae pode me ajudar o mais rápido possível com as questões abaixo??

1)    Sejam a,b e c números reais não nulos tais que a+b+c=0. Podemos
afirmar que [(a^3 + b^3 +c^3)^2 * (a^4 + b^4 + c^4)]/ (a^5 + b^5 +
c^5)^2 é igual a quanto???

2)  O número máximo de divisores positivos do número natural 48*2^(-x^2
+ 2x), com x pertencendo aos naturais é.....

Grato,
    Diego
P.S.: Sou novo na lista, qualquer problema de notação se puderem me
corrigir, agradeço tbm...
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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