RE: [obm-l] PARES

Olá novamente, colega:

Veja que x|(xy), logo xy é um múltiplo de x.

Observe que se (xy)|(x+y+1) => (x+y+1) é um múltiplo de (xy), digamos (x+y+1)/(xy)=k inteiro => (x+y+1)=(xy)k=x(yk), que é um múltiplo de x, assim x|(y+x+1) => (y+x+1)=0 mod x => x+(y+1)=0 mod x => x=-(y+1) mod x . Mas como x|x, então 0=-(y+1) mod x => y+1=0 mod x => x|(y+1).

Uma outra observação que pode ser provada facilmente: mdc(x,y)=1.

Faça mdc(x,y)=d => d|x e d|y => d|(xy) e ,como (xy)|(x+y+1) => d|(x+y+1) => d|1 => d=1,o que significa que x e y são primos entre si.

Até mais,

[],

L.M.

From:  Klaus Ferraz <klausferraz@yahoo.com.br>
Reply-To:  obm-l@mat.puc-rio.br
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Subject:  RE: [obm-l] PARES
Date:  Thu, 2 Mar 2006 17:11:54 +0000 (GMT)

Ola Lucas,

porque q se (xy)|(x+y+1) entao x|(y+1) ??

Lucas Molina <lucasmolina2005@hotmail.com> escreveu:




Olá colega:

Bem,

       (x+y)^2-2(xy)^2=1 <=> 2(xy)=(x+y)^2-1 => (xy)|[(x+y)^2-1] => (xy)|[(x+y+1)(x+y-1)]

    1 caso:

    (xy)|(x+y+1) => x|(y+1) =>y+1>=x => y>=x-1 (*)

    (xy)|(x+y+1) => y|(x+1) => x+1>=y (**)


De (*) e (**), x-1=<y=<x+1 => y=x-1, y=x, y= x+1 => basta substituir os valores e encontrar x que satisfazas condiçoes.



   2 caso:



   (xy)|(x+y-1) => x|(y-1) =&!
gt;
y>=x+1 (#)



    (xy)|(x+y-1) => y|(x-1) => x-1>=y (##)

De (#) e (##), x+1=<y=<x-1,o que é absurdo,pois x>0.



3 caso:

(xy)|(x^2+2xy+y^2+1) =>(xy)|(x^2+y^2+1)

=> x|(y^2+1) e y|(x^2+1)



    O 3 caso caiu numa seletiva da X rio platense.

   Deixo o terceiro caso para vocês.



    Até mais,



[],

Molina





From:  Klaus Ferraz
<klausferraz@yahoo.com.br>
Reply-To:  obm-l@mat.puc-rio.br
To:  obm-l@mat.puc-rio.br
Subject:  [obm-l] PARES
Date:  Sat, 25 Feb 2006 00:04:07 +0000 (GMT)



Determine todos os pares de inteiros positivos x, y satisfazendo a equacao?

(x+y)^2 - 2(xy)^2=1




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