Estava folheando umas anotações e curiosamente deparei-me com uma nota sobre a conjectura de Goldbach e imaginei o seguinte problema:
“Segundo uma extensão da conjectura de Goldbach enunciada por Euler, qualquer número par maior que 2 pode ser representado como a soma de 2 números primos ímpares. Encontre 2 primos cuja soma resulte nos seguintes números: 992, 7426, 63274, 503222,
A resposta é:
992 = 73 + 919
7426 = 173 + 7253
63274 = 293 + 62981
503222 = 523 + 502699
3807404 = 751 + 3806653
A curiosidade é a seguinte: os 5 números acima não foram escolhidos ao acaso. Eles são especiais.
Seja o número par n = p1 + p2, com p1 e p2 primos.
Cada número enunciado representa a combinação cujo p = mín(p1, p2) seja o maior primo possível no intervalo de n menor que 103, 104, 105, 106 e 107 respectivamente.
O que isto significa na prática?
Significa que para o número 992, por exemplo, a combinação mínima é 992 = 73 + 919.
Embora possam existir outras combinações para 992, 73 é o menor primo possível nesse caso. Todos os outros números pares menores que 1.000 têm combinações de resposta com primos menores que 73.
Sendo um pouco cruel, se alguém fosse tentar encontrar os primos p1 e p2 da soma utilizando para isso apenas lápis e papel, o número 992 representa o caso mais difícil dentre os pares menores que 1000 (utilizando um algoritmo de tentativas a partir de 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, etc.)
Utilizando esse raciocínio, o aluno teria que tentar:
992 = 3 + 989, 989 não é primo (989 = 23 . 43).
992 = 5 + 987, 987 não é primo.
992 = 7 + 985, 985 não é primo.
992 = 11 + 981, 981 não é primo.
...
Até chegar em 992 = 73 + 919.
Qualquer outro número par menor que 1000 e diferente de 992, causaria menos trabalho.
Conclusão: Acho que é aconselhável o uso de um sistema computacional para a correta resolução do problema, o que torna o exercício particularmente atraente como sendo de programação.
A dificuldade neste caso, nem é encontrar os fatores p1 e p2 da soma.
O difícil é chegar nos 5 números: 992, 7426, 63274, 503222, 3807404, dadas as condições iniciais do problema.
Também por questão de curiosidade, deparei-me com o seguinte enigma: “qual a progressão aritmética mais longa já encontrada composta somente por números primos?”. Embora eu já saiba a resposta, fica o desafio: elaborar um programa que execute tal façanha em escala menor, começando com 4 ou 5 primos em progressão e aumentando gradativamente: 6, 7, 8, etc.
Na verdade, existem dois recordes de progressões de primos (RIBENBOIM, 2001).
Um recorde diz respeito sobre primos quaisquer em progressão de razão constante (recorde de 22 primos), e o outro recorde é de primos consecutivos, ou seja, sem primos intermediários (recorde de 10 primos!).
Se alguém puder me ajudar com alguma informação sobre o assunto, agradeço
[[ ]]’s