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RES: RES: [obm-l] Progressoes II
Vc tem
que
(a -r1) * (b -
r2) = p1
a*b =
p2
(a+r1)*(b+r2) =
p3
Somando estas 3
equacoes, com um pouco de algebra chegamos a que 3a*b + 2r1*r2 = p1 + p2 +
p3 = S => r1*r2 = (S - 3p2)/2
Sejam x_n e y_n os termos e ordem n, n=1,2,3... de cada
uma das duas PAs. Convencionamos que x_2 = a e que y_2 = b. Pelas formulas das
PAs,
x_n = a + (n-2)*r1 e
y_n = b +(n-2)*r2. Logo, p_n = x_n * y_n = a*b + a*(n-2)*r2 + b*(n-2)*r1
+(n-2)^2*r1*r2 = p2 + (n-2)*(a*r2 + b*r1) + (S - 3p2)/2) *
(n-2). Na expressao de p_n, soh nao conhecemos ate agora (a*r2 + b*r1)
.
Mas temos que (a+
r1)*(b+r2) = p3 => a*b + a*r2 + b*r1 + r1*r2 = p3 => .*r2 +
b*r1 = p3 - r1*r2 - a*b. Como conhecemos p3, r1*r2 e a*b, agora temos tudo
conhecido para calculra p_n. Podemos substituir na expressao de p_n e
obte-lo em funcao de p1, p2 e p3, soh que dah um certo trabalho
algebrico.
No caso, n =8. S =
1440 + 1716 + 1848, etc. Eh soh substituir.
Artur
-----Mensagem
original-----
De: owner-obm-l@mat.puc-rio.br
[mailto:owner-obm-l@mat.puc-rio.br]Em nome de Klaus Ferraz
Enviada
em: terça-feira, 21 de fevereiro de 2006 18:50
Para:
obm-l@mat.puc-rio.br
Assunto: Re: RES: [obm-l] Progressoes
II
Nao entendi Artur. Será que poderia esclarecer melhor. Tipo,
aplicando no exercicio. Grato.
Artur Costa Steiner
<artur.steiner@mme.gov.br> escreveu:
Soh uma dica, jah que isto dah um certo trabalho algebrico. Sejam p1,
p2 e p3 os 3 primeiros termos da sequencia dos produtos. Sejam a e
b os termos de ordem 2 de cada uma das PAs. Sejam ainda r1 e r2 as
razoes de cada uma delas. Coloque p1 , p2 e p3 em em funcao de a, b ,
r1 e r2. Somando as expressoes, vc vai chegar a que 3ab + 2r1*r2 = p1 + p2
+p3 = S. Mas ab = p2, de modo que ab e r1*r2 estal
determinados.
Observe pelas formulas de PAs que, para qualquer n, p_n pode ser
determinado conhecendo-se ab, r1*r2 e a*r2 + b*r1. Os 2 primeiros estao
determinados, O ultimo pode ser determinado considerando-se que (a+
r1)*(b+r2) = p3.
Artur
Os termos correspondentes de duas progressoes aritmeticas sao
multiplicados e geram a sequencia 1440,1716,1848... . Determine o oitavo
termo dessa sequencia.
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