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RES: [obm-l] OLIMPIADA
Se
dentre os 5 numeros, houver 2 iguais, entao a desigualdade eh trivialmente
verificada, bastando escolher 2 numeros iguais e obter 0.
Suponhamos entao que os 5 numeros sejam distintos 2 a 2 e suponhamos, sem
perda de generalidade, que y_1 < y_2....< y_5. A cada y_i existe um arco
a_i em (-pi/2, pi/2) tal que tan(a_i) = y_i. Dado que a funcao tangente eh
estritamente crecente neste intervalo, podemos escol her estes arcos de
forma a que a_1 < a_2.....< a_5. Seja d a maxima diferenca entre 2 arcos
consecutivos. Como os arcos estao dispostos no intervalo (-pi/2, pi/2), temos que 0 < 4*d < pi
=> 0 < d <pi/4. Assim, existem arcos a_i e a_j, com j =i+1, satisfazndo
a a_j - a_i < pi/4.
Temos
que tan(a_j - a_i) = (tan(a_j) - tan(a_i))/(1 + tan(a_i)*tan(a_j)) = (y_j -
y_i)/(1+ y_i * y_j) . Mas como
0 < a_j - a_i < pi/4, temos que tan(a_j - a_i) < 1. Combinando as
desigualdaes, observamos que tem que have 2 reias y_j e y_i satisfazendo
a 0 < (y_j - y_i)/(1+ y_i * y_j) < 1, para o caso
em que os 5 numeros sao distintos 2 a 2. Considerando-se a possibilidade de que
haja pelo menos 2 iguias, chegamos, no caso geral, a que 0 <= (y_j -
y_i)/(1+ y_i * y_j) <= 1 para pelo menos 2 dentre os 5
reais.
Artur
Prove que, dentre quaisquer cinco reais y1,y2,y3,y4,y5, existem dois que
satisfazem:
0<=(yi - yj)/1+yiyj<=1
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