[obm-l] Re:Espaços Métricos

[Artur Costa Steiner <artur_steiner@xxxxxxxxx>]

Estou com uma duvida: este teorema vale em qualquer
espaco topologico ou apenas em espacos metricos e
espacos metrizaveis? Em um espaco topologico nao
metrizavel, a prova dada nao vale, pois o fato de x
ser ponto de acumulacao de X nao implica que exista
uma sequencia em X que convirja para x. Se
substituirmos sequencia por rede, a prova torna-se
valida?

Se o espaco satisfizer ao primeiro axioma da
enumerabilidade (cada um de seus pontos tiver uma base
enumeravel), entao a prova dada permanece valida,
pois, em tais espacos, se x pertence ao fecho de X,
entao existe uma sequencia em X que converge para x. E
pontos de acumulacao de um conjunto pretencem ao seu
fecho.

> Artur 
> 
>  
>  
> > Mostre que se X inter K é fechado de K para todo
> > compacto K C ou igual 
> > M, então X é fechado do espaço M
> > 
> > (inter = intersecção e C ou igual = Contido ou
> igual
> > a)
> > 
> > Suponhamos, por contraposicao, que X nao seja
> > fechado. Entao, X possui um
> > ponto de acumulacao x, em M, que nao pertence a X.
> > Adicionalmente, existe
> > uma sequencia (x_n)  em X que converge para x
> > (propriedade de espacos
> > metricos). 
> > O conjunto  A = (x1, x2....x_n....} nao eh
> fechado,
> > pois x eh ponto de
> > acumulacao de A mas nao pertence a A. 
> > Por outo lado, K = A Uniao {x} = {x, x1,
> > x2....x_n...} eh compacto (qualquer
> > cobertura aberta de K contem um membro que contem
> x
> > e que, desta forma, com
> > possivel excecao de um numero finito de elementos
> de
> > K, cobre a totalidade
> > dos elementos de K. Isto decorre do fato de que
> x_n
> > -> x).  
> > Como X inter K = A, deduzimos existir um compacto
> K
> > tal que X inter K = A
> > nao eh fechado. Por contaposicao, concluimos que a
> > afirmacao eh verdadeira.

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