Re: [obm-l] Desigualdades

[Carlos Yuzo Shine <cyshine@xxxxxxxxx>]

Oi gente,

Como diz o Gugu, vamos lá:

> Prove que se a,b e c sao lados de um triangulo,
> entao a/(b+c) + b/(a+c)+c/(a+b)<3/2

Hmm... acho que o certo é exatamente o contrário, ou
seja, que
  a/(b+c) + b/(a+c)+c/(a+b)>=3/2

E se não me engano, isso vale para todos a,b,c reais
positivos.

Sejam C = a+b, B = a+c e A = b+c. Resolvendo o sistema
em a, b e c, obtemos a = (B+C-A)/2, 
b = (A+C-B)/2 e c = (A+B-C)/2.

Substituindo no lado esquerdo da desigualdade e
multiplicando por 2, obtemos
  B/A + C/A - 1 + A/B + C/B - 1 + A/C + B/C - 1 >= 3
que equivale a
  B/A + A/B + C/B + B/C + A/C + C/A >= 6

Isso sai direto por médias ou, se você quiser,
utilizando três vezes o fato de que x + 1/x >= 2 para
todo x real positivo.

Agora, o que precisa da restrição de a,b,c serem lados
de triângulos é a desigualdade
  a/(b+c) + b/(a+c) + c/(a+b) < 2.

Isso sai utilizando a substituição de Ravi: se a,b,c
são lados de um triângulo então existem reais
positivos x,y,z tais que a = y+z, b = x+z e c = x+y. A
demonstração é simples: desenhe um triângulo e seu
incírculo. As medidas x, y e z são as medidas dos
segmentos tangentes começando em cada vértice e
terminando em um dos pontos de tangência mais
próximos. Outro jeito de provar é achando x,y,z em
função de a,b,c e aplicando a desigualdade triangular.

Enfim, subtituindo, obtemos no lado esquerdo
  (y+z)/(2x+y+z) + (x+z)/(x+2y+z) + (x+y)/(x+y+2z)

Diminuindo denomimadores, obtemos frações maiores.
Logo
  (y+z)/(2x+y+z) + (x+z)/(x+2y+z) + (x+y)/(x+y+2z)
< (y+z)/(x+y+z) + (x+z)/(x+y+z) + (x+y)/(x+y+z)
= 2.

>   Determine todos os x e y reais tais que
> 20x^2+10y^2+4xy+12x-10y+5=0

Nessas situações eu costumo ver a equação como uma
equação de segundo grau em uma das variáveis (digamos,
x) e calcular o discriminante mesmo.

A equação pode ser reescrita como
  20x^2 + (4y+12)x + 10y^2-10y+5 = 0
e o seu discriminante é
  (4y+12)^2 - 4*20*(10y^2-10y+5)
= 16y^2 + 96y + 144 - 800y^2 + 800y - 400
= -784y^2 + 896y - 256
= -16(49y^2 - 56y + 16)
= -16(7y - 4)^2

Como queremos raízes reais, tal discriminante é >= 0.
Mas isso só ocorre se 7y-4 = 0, ou seja, y = 4/7.
Nesse caso, o delta é nulo e a equação admite a única
solução
  x = -(4y+12)/(2*20) = -(7y+21)/70 = -25/70 = -5/14

Logo x = -5/14 e y = 4/7.

[]'s
Shine

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