Re: [obm-l] 3 Questões de Calculo aplicadas ao cotidiano

On 2/2/06, Bruno França dos Reis <bfreis@gmail.com> wrote:

3) Podemos descrever essa situação, de que uma grandeza decai a uma taxa proporcional ao seu valor, com a seguinte equação diferencial:
x' = -kx
Usando uma pequena "gambiarra" pra facilitar, podemos resolver assim:
x' / x = -k
Mas x' / x = [ln |x| ] ', então
[ln |x| ] ' = -k
"Integrando os dois lados", e juntando as constantes de integração do lado direito, temos:
ln |x(t)| = -kt + C <==> |x(t)| = e^(-kt + C) = e^C*e^(-kt) = Q_0 * e^(-kt), onde chamamos e^C de Q_0.

1) Uma vez eu tinha feito um problema que a agua num reservatorio entrava e saia à mesma vazão e ela era aquecida, por uma resistência que trabalhava a uma potencia constante, e a água era instantaneamente misturada, e eu procurava a equação que diria a temperatura da agua em cada instante. Do jeito que eu tinha feito (que não sei se estava certo, pois eu nao tinha a resposta), ficou parecidíssimo com esse seu, do jeito que eu fiz. Olha só:

Vamos chamar de V o volume, que é fixo (no seu caso 100L, mas vou fazer um caso mais geral), e Z a vazão de entrada/saída da água.
m=m(t) é a massa de sal contida no recipiente em função do tempo.
Seja t0 um instante qualquer (e m0 = m(t0)). Temos:
C(t0) = m0 / V

Tome um intervalo de tempo "pequeno" deltaT. Vamos ver o que acontece com a concentração nesse intervalo de tempo deltaT, no qual entra um volume de agua deltaV = Z*deltaT:
C(t0 + deltaT) = m0 / (V + deltaV) = m0 * ( V / (V + deltaV)) / V

Vamos escrever a diferença de concentração nesse intervalo de tempo, dividida pela duração desse intervalo.

(C(t0 + deltaT) - C(t0)) / deltaT = 1/deltaT * m0/V * ( V/(V+deltaV) - 1) = 1/deltaT * m0/V * (V - V - deltaV)/(V + deltaV) = - 1/deltaT * m0/V * deltaV/(V + deltaV)
Note que deltaV / deltaT = Z, então
(C(t0 + deltaT) - C(t0)) / deltaT = ... = -Zm0/(V * (V + deltaV)) = -Z*C(t0) / (V + deltaV) = -Z*C(t0)/(V + Z*deltaT)
Tome agora o limite para deltaT tendento a 0. Por definição, o lado esquerdo é a derivada de C no ponto t0, e do lado direito é fácil ver que dá:
C'(t0) = -Z*C(t0)/V
O que nos leva à equação diferencial de primeira ordem com coeficientes constantes, cuja solução é:
x' = -ax ==> x(t) = x(t0) * e^(-a(t-t0)). Então:

C(t) = C(t0)*e^((-Z/V) * (t - t0))

Como queremos a massa de sal, e a concentração é massa/volume, basta multiplicar pelo volume pq ele é constante:
M(t) = V * C(t0) * e^((-Z/V) * (t - t0)) = M(t0) * e^((-Z/V) * (t - t0))

Agora é só substituir:

Tomando t0 = 0, Z = 3, V = 100 e M(t0) = 70 (estou usando as mesmas unidades que vc pq elas "se cancelam" na exponencial, o que é necessário para o cálculo), temos:

M(60) = 70 * e^(-3/100 * 60) = 70 * e^(- 1.8) = ... veja aí quanto dá

vc tem resposta pra saber se isso está certo?

Abraço
Bruno

On 1/31/06, João Vitor <jvgp@terra.com.br > wrote:

pessoal!

Qo Entenda Q índice Zero
e-kt entenda e elevado a -kt

vlw

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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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Bruno França dos Reis
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e^(pi*i)+1=0