Data: Tue, 17 Jan 2006 23:11:26 -0300
Assunto: [obm-l] questao
Olá .
Por favor, gostaria da ajuda de alguem para o seguinte problema:
Num paralelogramo de área 1 são traçadas retas que unem cada vértice com o ponto médio de cada lado não adjacente a ele. As oito retas traçadas determinam um octógono no interior do paralelogramo. Calcule a área do octógono.
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Se não conseguir ve-la , me avise.
A ideia da questão é dividir o paralelogramo maior em outros menores:
Repare na figura que dividi o paralelogramo maior em 64 partes para encontrar a area verde.Assim S(verde)= 1/64.
Agora olhe para o triângulo de vertices roxos :
As cevianas que estão contidas nele são suas medianas, então a area vermelha é 1/6 da area do triângulo.Como a area do triângulo é 1/32 :
S(vermelha) = 1/32 * 1/6 = 1/192.
Mas repare que a area amarela , da outra figura ,
é 4 vezes a area verde + a vermelha :
S(amarela) = 4[S(verde)+ S(vermelha)]
S(amarela) = 4[1/64 + 1/192]
S(amarela) = 1/12
As areas marrons e azuis são triviais de se encontrar:
S(marrom) = 1/8
e
S(azul) = 1/4
Agora é só fazer as contas :
S(octogono) = 1 - 2[S(azul)+S(marrom)+S(amarela)]
S(octogono) = 1 - 2[1/4 + 1/8 + 1/12]
S(octogono) = 1/12
[]'s
Luiz H. Barbosa
MSN:lhenrique_br@hotmail.com