[obm-l] Problema do gnedenko(RESSUSCITADO)

[Chicao Valadares <chicaovaladares@xxxxxxxxxxxx>]

Vcs poderao ver esse problema na lista em:
http://www.mail-archive.com/cgi-bin/htsearch?method=and&format=short&config=obm-l_mat_puc-rio_br&restrict=&exclude=&words=gnedenko

Eu tinha tentado resolve-lo a muito tempo mas tinha
perdido a resolu��o.Ao acha-la, constatei que estava
errada.Entao tentei
novamente e obtive uma solu��o que gostaria 
de compartilhar com os colegas da lista(p/ nao perder
o h�bito de resolver problemas antigos...).Esse
problema tambem encontra-se no livro de Estatistica de
MArcio Triola:


Adequando-o a minha linguagem-> "dAdo um segmento
sorteie aleatoriamente dois pontos p e q no
mesmo.Entao qual a probabilidade dos segmentos
resultantes formarem os 3 lados de um triangulo????"

Suponha que o segmento esteja na horizontal.

Restri�ao 1 - Seja p e q os pontos sorteados no
segmento uniformemente e independentemente.Os pontos 
nunca s�o sorteados sobrepostos ou nunca s�o sorteados
de tal forma que
cada ponto fique em um extremo do segmento ou alguns
desses pontos fique no ponto m�dio do segmento.

Suponha sem perda de 
generalidade que o ponto mais a esquerda � sempre p.

Seja a,b e c os lados formados a partir do sorteio
desses pontos no segmento.

Seja b exatamente a distancia entre p e q .

Seja a , a distancia entre o extremo esquerdo do
segmento at�  p.

(i) Criterio necessario e suficiente em rela��o ao
comprimento dos lados p/ formar um triangulo:
a+b > c
a+c > b
b+c > a


Fato 1- Se um dos lados for maior que metade do
segmento um triangulo nao poder� ser formado.

Isso � obvio observando (i).Se vc fizer um numero
muito grande de sorteios(com o sorteio  independente e
uniforme) 
constatar� que:

(a)Ou o ponto p e o ponto q estar�o antes do ponto
medio do segmento;
- Nesse caso o lado "c" cai no Fato 1.

(b)Ou o ponto p e o ponto q estar�o depois do ponto
medio do segmento;
- Nesse caso o lado "a" cai no Fato 1.

(c)O ponto p fica antes do ponto medio e o ponto q
depois do ponto medio;
-Nesse caso ainda existe a possibilidade de nao se
formar um triangulo.


Daqui , como o sorteio � feito de forma independente e
uniforme, obtemos um limitante superior da
probabilidade 
de se formar um triangulo = 1/3


Bem, at� aqui conseguimos limitar o tamanho de "a"
 e "c" , falta limitar o tamanho de "b". Ora, j�
sabemos pelo Fato 
1 que "b" tem que ser menor que metade do segmento.Ora
, pela l�gica depois de um sorteio
ou "b" � menor que a metade do segmento ou b � maior
que a metade do segmento, e se
realizarmos um n�mero grande de sorteios sob a
condi��o (c) observaremos exatamente essa simetria
na nossa amostra pois o sorteio � feito de forma
independente e uniforme. Portanto 50% dos casos nos
interessa.

Bem, observando a configuran��o atual e o crit�rio (i)
fica claro que sempre poderemos formar um triangulo
assim.

� bom deixar claro que segui a Restri��o 1. 

Sendo assim , a probabilidade procurada ser� 1/2 * 1/3
= 1/6

� isso.


"O Bin�mio de Newton � t�o belo como a V�nus de Milo.
O que h� � pouca gente para dar por isso... "
Fernando Pessoa - Poesias de Alvaro Campos

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