[obm-l] Problema do gnedenko(RESSUSCITADO)

[Chicao Valadares <chicaovaladares@xxxxxxxxxxxx>]

Vcs poderao ver esse problema na lista em:
http://www.mail-archive.com/cgi-bin/htsearch?method=and&format=short&config=obm-l_mat_puc-rio_br&restrict=&exclude=&words=gnedenko

Eu tinha tentado resolve-lo a muito tempo mas tinha
perdido a resolução.Ao acha-la, constatei que estava
errada.Entao tentei
novamente e obtive uma solução que gostaria 
de compartilhar com os colegas da lista(p/ nao perder
o hábito de resolver problemas antigos...).Esse
problema tambem encontra-se no livro de Estatistica de
MArcio Triola:


Adequando-o a minha linguagem-> "dAdo um segmento
sorteie aleatoriamente dois pontos p e q no
mesmo.Entao qual a probabilidade dos segmentos
resultantes formarem os 3 lados de um triangulo????"

Suponha que o segmento esteja na horizontal.

Restriçao 1 - Seja p e q os pontos sorteados no
segmento uniformemente e independentemente.Os pontos 
nunca são sorteados sobrepostos ou nunca são sorteados
de tal forma que
cada ponto fique em um extremo do segmento ou alguns
desses pontos fique no ponto médio do segmento.

Suponha sem perda de 
generalidade que o ponto mais a esquerda é sempre p.

Seja a,b e c os lados formados a partir do sorteio
desses pontos no segmento.

Seja b exatamente a distancia entre p e q .

Seja a , a distancia entre o extremo esquerdo do
segmento até  p.

(i) Criterio necessario e suficiente em relação ao
comprimento dos lados p/ formar um triangulo:
a+b > c
a+c > b
b+c > a


Fato 1- Se um dos lados for maior que metade do
segmento um triangulo nao poderá ser formado.

Isso é obvio observando (i).Se vc fizer um numero
muito grande de sorteios(com o sorteio  independente e
uniforme) 
constatará que:

(a)Ou o ponto p e o ponto q estarão antes do ponto
medio do segmento;
- Nesse caso o lado "c" cai no Fato 1.

(b)Ou o ponto p e o ponto q estarão depois do ponto
medio do segmento;
- Nesse caso o lado "a" cai no Fato 1.

(c)O ponto p fica antes do ponto medio e o ponto q
depois do ponto medio;
-Nesse caso ainda existe a possibilidade de nao se
formar um triangulo.


Daqui , como o sorteio é feito de forma independente e
uniforme, obtemos um limitante superior da
probabilidade 
de se formar um triangulo = 1/3


Bem, até aqui conseguimos limitar o tamanho de "a"
 e "c" , falta limitar o tamanho de "b". Ora, já
sabemos pelo Fato 
1 que "b" tem que ser menor que metade do segmento.Ora
, pela lógica depois de um sorteio
ou "b" é menor que a metade do segmento ou b é maior
que a metade do segmento, e se
realizarmos um número grande de sorteios sob a
condição (c) observaremos exatamente essa simetria
na nossa amostra pois o sorteio é feito de forma
independente e uniforme. Portanto 50% dos casos nos
interessa.

Bem, observando a configuranção atual e o critério (i)
fica claro que sempre poderemos formar um triangulo
assim.

È bom deixar claro que segui a Restrição 1. 

Sendo assim , a probabilidade procurada será 1/2 * 1/3
= 1/6

È isso.


"O Binômio de Newton é tão belo como a Vênus de Milo.
O que há é pouca gente para dar por isso... "
Fernando Pessoa - Poesias de Alvaro Campos

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