Re: [obm-l] +Duvida de analise

[Bruno França dos Reis <bfreis@xxxxxxxxx>]

1) Um resultado conhecido como "Propriedade de Arquimedes", um pouco mais forte que esse, é o seguinte:
Propriedade de Arquimedes: Dados x>0 e y dois reais quaisquer, então existe um natural n tal que nx > y.

A demonstração se faz por absurdo.
Suponha que para todo natural n, nx <=y. Considere o conjunto M dos multiplos inteiros de x, ie, M = {nx, n natural}.
sup(M) - x < sup(M). Então sup(M) -x nao é cota superior de M, e
portanto existe um natural m tal que sup(M) - x < mx ==> sup(M)
< (m+1)x. Mas (m+1)x é da forma nx, e portanto está em M, o que
implica que sup(M) não é cota superior de M; como M é não vazio, e todo
conjunto não vazio e limitado superiormente admite supremo, só podemos
concluir que M não é limitador superiormente, o que implica que é falso
dizer que nx <= y para todo n. Logo, vale sua negativa, isto é,
existe um n para o qual nx > y.

Se isto vale pra todos os reais, vale pros naturais da sua questão.


2) Note que para n = 4, temos 4! = 24 > 16 = 2^4, então a propriedade vale para 4.
Suponha que a propriedade valha para um certo k. Vamos provar que se ela vale para esse k, então ela valerá para k+1.
Temos: k! > 2^k ==> k! > 2*2*...*2 (k vezes) ==> (k+1)*k!
> 2*2*...*2 * (k+1), mas k+1 >= 2 por hipótese, então (k+1)*k! =
(k+1)! > 2*2*...*2*(k+1) > 2*2*...*2*2 (k+1 vezes).

3) P(A) é o conjunto de todos os subconjuntos de A. Então, de todos os
n elementos de A, vc deve formar todos os conjuntos de 0 elementos, de
1 elemento, de 2 elementos, ..., de n-1 elementos, de n elementos.
Conte quantos são de cada tipo, e some, para obter o número de
elementos de P(A). Temos então C(n,0) elementos no conjunto dos
subconjuntos de 0 elementos de A, C(n,1) elementos no conjunto dos
subconjuntos de 1 elemento de A, C(n,2) no conjunto blablabla, ...,
C(n,n-1) ..., C(n,n) elementos blablabla. Então op conjunto P(A) tem
C(n,0) + C(n,1) + ... + C(n,n) = 2^n elementos.




Acabei de me lembrar de uma questãozinha bonitinha:

Seja C um conjunto com n elementos, n>=1, e S contido em P(U) de
forma que se A e B são elementos de S, então temos que A está contido
em B ou B está contido em A. Qual é o maior número de elementos que S
pode ter?



Abraço
Bruno

On 1/6/06, jose.l <jose.l@bol.com.br> wrote:

Quem puder me ajudar nessas questões, fico agradecido!

1) Dados os numeros naturais a, b, prove que existe um numero natural m tal que
m*a > b.

2) Usando indução, demonstre o seguinte fato:
    n >= 4  implica n! > 2^n

3) Prove que se A tem n elementos, então P(A) tem 2^n elementos.

Desde ja, agradeço!


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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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Bruno França dos Reis
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e^(pi*i)+1=0