RES: [obm-l] +Duvida de analise

Olá amigos da lista! Quero pela atenção recebida desde já agradeço!Eu fiz a quetão mas eu não tenho certeza, quem puder conferir eu agradeço! Feliz 2006 para todos!

1) Seja f,g : X -> R uniformemente continuas. Prove f + g é uniformemente continua.
[Artur Costa Steiner]

Aqui, eu acho que cabe um reparo logico. Em vez de "podemos tomar x_n, y_n pertencente a X com lim (y_n - x_n) = 0", deveria ser dito "para todas sequencias x_n, y_n pertencente a X com lim (y_n - x_n) =0, temos lim [ f(y_n) - f(x_n) ] = 0 e lim [ g(y_n) - g(x_n) ] = 0.". A continuidade uniforme implica isto para TODAS as seqs x_n e y_n que satisfacam a (y_n - x_n) -> 0 e vice-versa. Isto eh: f eh unif. continua em X se, e somente se, para todas as seqs. x_n e y_n em X com lim (y_n - y_n) = 0, tivermos lim (f(y_n) - f(x_n)) = 0.

Da maneira como vc colocou, dah a impressao, equivocada, que basta que a condicao se verifique para um par de sequencias x_n e y_n com (x_n -y_n) -> 0.

Prova: Como f e g são uniformemente continuas no dominio X, então podemos tomar x_n, y_n pertencente a X com lim (y_n - x_n) = 0 implicam lim [ f(y_n) - f(x_n) ] = 0 e lim [ g(y_n) - g(x_n) ] = 0. Logo : lim { [ f(y_n) + (g(y_n)] - [ f(x_n) + g(x_n)]. Assim temos que é uniformente continua. q.e.d.

Quem puder ajudar nessa questão ficarei grato...

2) Sejam f,g,h : X ->R tais que f(x) < ou = g(x) < ou = h(x) para todo x pertencente a X. Se f e h são derivaveis no ponto a pertencente X inter X', com f(a) = h(a) e f '(a) = h '(a) prove que g eh derivavel nesse ponto, g '(a) = f '(a).

obs.: inter = intersecção
[Artur Costa Steiner]

Nao estah claro quem eh esse conjunto X'. Acho que ele é desnecessario, ja que f, g e h sao definidas em X.

As condicoes dadas implicam imediatamente que h(a) = f(a) = g(a). Para todo x de X, temos que f(x) = f(a) + (x-a) f'(a) + o1(x-a), sendo o1 uma funcao tal que lim (x -> a) o1(x-a)/(x-a) = 0. Analogamente, h(x) = h(a) + (x-a) h'(a) + o2(x-a), sendo o2 uma funcao tal que lim (x -> a) o2(x-a)/(x-a) = 0. Sendo A = f(a) = h(a) e B = f'(a) = h'(a), as condicoes dadas implicam que, para todo x de X, tenhamos A + (x-a) B + o1(x-a) <= g(x) <= A + (x-a) B + o2 (x-a) => (x-a) B + o1(x-a) <= g(x) - A <= (x-a) B + o2 (x-a). Como o1(x-a), o2(x-a) -> 0 quando x -> a (consequencia das definicoes de o1 e de o2), os membros externos da ultima desigualdade tendem a 0 quando x -> a. Por confronto, concluimos que lim (x ->a) g(x) = A = g(a).

Assim, para todo x de X temos (x-a) B + o1(x-a) <= g(x) - g(a) <= (x-a) B + o2 (x-a). Para x >a, x em X, temos entao que x -a >0 e que, portanto, B + o1(x-a)/(x-a) <= (g(x) - g(a))/(x-a) <= B + o2 (x-a)/(x-a) . Quando x-> a+, os membros externos desta ultima desigualdade tendem a B (em virtude das definicoes de o1 e de o2). Por confronto e pela definicao de derivada, segue-se que lim (x ->a+) (g(x) - g(a))/(x-a) = g'(a+) = B. De forma similar, concluimos que lim (x ->a-) (g(x) - g(a))/(x-a) = g'(a-) = B (supondo-se a ponto interior de X). Logo, lim (x ->a) (g(x) - g(a))/(x-a) = g'(a) = B, que eh a condicao desejada.

Artur