Olá amigos da lista! Agradeço ajuda recebida! Quem puder me ajujar nessas questões eu agradeço! Das 5 eu fiz 4, mas não tenho certeza! Desde de já, obrigado
1)Uma função f:X-R diz-se semi-continua superiormente (scs) no ponto a Î X quando, para cada c > f(a) dado, existe d >0 tal que x Î X, |x-a|>d implicam f(x) > c. Defina função função semi-continua inferiormente (sci) no ponto a. Prove que se f é scs, g é sci no ponto a e f(a)<g(a) então existe d >0 tal que x Î X, |x-a|>d Þ f(x)<g(x).
2) Seja f:R->R continua. Prove que se f(x) = 0 para todo x Î X então f(x) = 0 para todo
x pertencente ao seu conjunto dos seus pontos aderentes.
3) Sejam f,g:->R continuas no ponto a. Suponha que, em cada vizinha V de a, existam pontos x,y tais que f(x)< g(x) e f(y) > g(y). Prove que f(a) = g(a).
4) Diz –se que uma função f:->R, definida no intervalo I tem a propriedade do valor intermediário quando a imagem de f(J) de todo intervalo J Ì I é um intervalo. Mostre que a função f:R->R, dada por f(x)= sem(1/x) se x ¹ 0 e f(0) = 0, tem a propriedade do valor intermediário, embora seja descontínua.
5) Sejam f,g:X->R uniformemente contínuas. Prove que f + g é uniformemente contínua. O mesmo ocorre com o produto f*g desde que f e g sejam limitadas. Prove que j,y:X->R, dadas por j(x) = max{f(x),g(x)} e y(x) = min{f(x),g(x)} xÎ X são uniformemente contínuas.