Temos 3 números dentre o seu conjunto {1,2,3,4,6,8,9} que são divisíveis por 3, 2 que deixam resto 1 e 2 que deixam resto 2.
Ao construir o número de 5 algarismos, se escolhermos um algarismo que
deixa resto 1, devemos escolher um algarismo do grupo que deixa resto 2
para que o número seja divisível por 3. Se escolhermos dois algarismos
que deixa resto 1, devemos escolher 2 que deixam resto 2. Seja A =
{3,6,9}, B = {1,4}, C = {2,8}
Vemos então que NÃO podemos tomar um número par de algarismos do
conjunto A, NEM todos de A e os outros dois de um mesmo conjunto.
TODAS as possibilidades são: A(7,5), ie, arranjos de 7 elementos, 5 a 5.
Temos C(3,2) formas de tomar dois algarismos do conjunto A. Para cada
forma, temos duas formas de tomar dois elementos de B e um de C OU duas
formas de tomar dois elementos de C e um d B. Para cada uma dessas
formas de tomar 5 elementos, podemos permutá-los. Então devemos tirar
C(3,2)*2*2*5!.
Temos C(3,3)=1 formas de tomar todos os elementos de A. Para cada uma
(a única), podemos tomar dois elementos de B de uma única forma OU dois
elementos de C de uma única forma (o que dá duas maneiras de completar
os 5 algarismos). Novamente, devemos permutar os 5 algarismos
escolhidos.
Então a sua resposta é:
A(7,5) - C(3,2)*2*2*5! - C(3,3)*2*5! = 7!/(7-5)! - 3!/(2!*1!) * 2 * 2 *
5! - 2*5! = 7*6*5! / 2 - 3*2*2*5! - 2*5! = (7*3 - 12 - 2) * 5! = 7*5! =
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