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[obm-l] RES: [obm-l] duvida de Análise
Seja x
pertencente a I e h = g o f. As condicoes dadas implicam que f seja
diferenciavel em x e que g seja diferenciavel em f(x). Pela regra da
cadeia, h eh diferenciavel em x e h'(x) = g'(f(x) * f'(x).
g eh
de classe C2, de modo que g' eh diferenciavel em f(x). f eh de classe C2 e,
portanto, f' eh diferenciavel em x. Como f eh diferenciavel em x, g' o f eh
diferenciavel em x. Aplicando novamente a regra da cadeia e, agora, a regra de
derivacao de um produto de funcoes, concluimos que h'' existe em x e que h''(x)
= g''(f(x) * (f'(x))^2 + g'(f(x)) * f'''(x).
Finalmente, observamos que (1) - g''(f)) eh continua em x,
pois f eh continua em x e g'' eh continua em f(x). (2) - f' eh continua em
x. g'(f) eh continua en x
pois eh inclusive diferenciavel em x. e, (3) - f'' eh continua
em x.
Assim,
h'' eh dada por uma soma de produtos de funcoes continuas, sendo ela
propria continua em x.
E como
esta conclusao eh valida para todo x de I, concluimos que h e de classe C2 em
I.
Artur
Quem puder resolver, eu agradeço!
1) Seja I um intervalo aberto. Uma f:I->R diz-se de classe C2 quando é
derivável e sua derivada f':I->R é de classe C1. Prove que se f(I) está
contido em J e g:J->R também é de classe C2 então a composta gof:I->R é
de classe C2.
Desde já, Obrigado!!!!