RES: [obm-l] Sequencia

[Artur Costa Steiner <artur.steiner@xxxxxxxxxx>]

Preciso de ajuda neste teorema:

1 - prove o seguinte teorema:

Sejam os somátorisos de n de 1 ao infinito positivo de an e bn série de 
termos positivos; então:

a) Se lim (an/bn) = 0 e somatório  de bn (n de 1 ao infinito positivo) 
converge, então o somatório de an (n de 1 ao infinito positivo) converge.

Fixemos um eps >0. Existe entao um inteiro postivo k tal que 0 < a_n/b_n <
eps para n>=k. Logo, 0 < a_n < eps * b_n para n>=k (1). Como Soma(b_n)
converge, o mesmo se verifica para Soma(eps * b_n). Como (1) vale para todos
menos um número finito de ídices n, concluimos, por comparacao, que
Soma(a_n) converge.     


b) Se lim (an/bn) = infinito positivo e somatório de bn (n de 1 ao infinito 
positivo) diverge, então o somatório de an (n de 1 ao infinito positivo) 
diverge.

Fixemos M>0. Existe entao k tal que, se n>=k, entao a_n/b_n > M => a_n > M *
b_n. Soma(b_n) diverge = > Soma( M * b_n) diverge. Por comparacao, segue-se
que Soma (a_n) diverge. Alternativamente, vc poderia aplicar a conclusao de
(a) para a sequencia b_n/a_n, que tende a 0.  


Artur

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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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