Pelo teorema da divergência (ou de Gauss), a integral tripla de div F
sobre um volume V é igual à integral dupla de F escalar n sobre a
superfície S que limita o volume V.
Vamos então tomar, por exemplo, F = 1/3 * (x,y,z), pois assim temos div
F = dF/dx + dF/dy + dF/dz = 1/3 + 1/3 + 1/3 = 1 (onde "d" representa o
simbolo de derivada parcial). Então se calcularmos a integral tripla de
divF sobre o volume da esfera, estaremos calculando a integral tripla
de "1" sobre o volume da esfera, que dá exatamente o volume da esfera.
Então (vou usar "I" para representar o simbolo da integral): III divF dV = II F.n dS
A normal (unitária) em cada ponto da esfera é: n(x,y,z) = (x,y,z) / sqrt(x^2 + y^2 + z^2)
=> F . n = 1/(3*sqrt(x^2 + y^2 + z^2)) * (x,y,z) . (x,y,z) = sqrt(x^2 + y^2 + z^2) / 3
Queremos então calcular o volume V da esfera:
V = II 1/3 sqrt(x^2 + y^2 + z^2) dS
Como estamos calculando numa esfera, x^2 + y^2 + z^2 é constante e vale R^2. Então:
V = II R / 3 dS = R / 3 * II dS
Aqui está o cálculo do volume da esfera com uma integral dupla...
(porque raios alguem faria isso, e não uma integral tripla que seria
bem mais rápido? bom, nao sei, como já disse, nao estudei isso direito
ainda)
Mas II dS = 4piR^2, pois a superfície é uma esfera e essa integral dupla representa a área dessa superfície.
Então V = 4/3 pi R^3