Na sua
prova, vc disse que a funcao g eh sobrejetora. Mas podemos garantr a
existencia desta g?
Artur
-----Mensagem original-----
De: owner-obm-l@mat.puc-rio.br
[mailto:owner-obm-l@mat.puc-rio.br]Em nome de Bruno França dos
Reis
Enviada em: quinta-feira, 8 de dezembro de 2005
12:47
Para: OBM
Assunto: [obm-l] Função contínua de
irracionais em racionais e vice versa
Olá
Um amigo
me propôs uma questão: construa uma função f definida em algum intervalo dos
reais (ou em todos os reais) de forma que:
(i) f leva um irracional a um
racional
(ii) leva um racional a um irracional
(iii) seja contínua em
todos os pontos
É fácil construir uma que atenda às condições (i) e
(ii). É fácil também construir uma que atenda às condições (i) e (ii) e que
seja racional em uma quantidade finita (ou enumerável) de pontos.
Agora
não sabíamos construir uma que fosse contínua em todos. Eu acho que provei que
não é possível. Seria possível alguém verificar a prova?
Tome a e b no
intervalo em que f está definida, de forma que a seja um racional e b seja
irracional. Considere o intervalo definido por [f(a), f(b)] (f(a) != f(b),
obviamente), que está contido na imagem de f (pois f é contínua). Então temos
que todos os irracionais contidos no interval [f(a),f(b)], isto é: [f(a),f(b)]
inter (R - Q), devem ser imagem de racionais no intervalo [a,b]. Seja g uma
restrição de f aos racionais do intervalo [a,b], com contradomínio igual ao
conjunto de todos os irracionais do intervalo [f(a),f(b)], que assume os
mesmos valores que f. Essa função g deve ser sobrejetora (pois tem que assumir
pelo menos uma vez cada valor irracional do intervalo [f(a),f(b)], que é
exatamente seu contradomínio). Então queremos construir uma função sobrejetora
de um conjunto enumerável em um conjunto não-enumerável, o que não é possível
(há "mais" irracionais que racionais, logo não há valores suficientes no
domínio de g para que possamos atingir todos os valores do contradomínio).
Então f também não pode assumir todos os valores irracionais entre f(a) e f(b)
somente a partir dos racionais entre a e b. Logo não existe tal função
f.
Tá certo issi aí?
Abraço
Bruno
--
Bruno França dos Reis
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