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[obm-l] =?ISO-8859-15?Q?RES=3A_=5Bobm-l=5D_RE=3A_=5Bobm-l=5D_Fun=E7=E3?==?ISO-8859-15?Q?o_cont=EDnua_de_irracionais_em_racionais_e_vice_versa?=
Eh verdade, nao estava dito que f tinha que ser injetora ou sobrejetora. Se
abrirmos mao da continuidade, a tal funcao existe sim. Acho que sua prova
estah OK.
Uma outra forma de provarmos que esta funcao nao pode existir, se exigirmos
continuidade, eh nos basearmos no fato de que R eh um espaco de Baire e que,
em razao disto, o conjunto IQ, dos irracionais, nao eh F-sigma.
Se existisse uma funcao f conforme estabelecido, entao teriamos que IQ =
f^(-1)(Q) (IQ imagem inversa de Q). Como Q eh enumeravel, Q = {r_1} U
{r_2}...., onde os r_i sao os numeros racionais. Pelas propriedades da
imagem inversa de funcoes, IQ = f^(-1)({r_1}) U f^(-1)({r_2}).... Como
estamos em R, cada {r_i} eh fechado, o que, em virtude da continuidade de f,
implica que cada f^(-1)({r_i}) tambem o seja. Logo, IQ eh dado por uma uniao
enumeravel de conjuntos fechados, o que contraria o fato de que IQ nao eh
F-sigma.
Argumento similar vale para funcoes definidas em intervalos limitados de R.
Artur
-----Mensagem original-----
De: owner-obm-l@mat.puc-rio.br [mailto:owner-obm-l@mat.puc-rio.br]Em
nome de kleinad2@globo.com
Enviada em: quinta-feira, 8 de dezembro de 2005 16:35
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Assunto: [obm-l] RE: [obm-l] Fun��o cont�nua de irracionais em racionais
e vice versa
Se f n�o � cont�nua, no enunciado nada me impede de fazer f(x) = 1 para
todo x irracional e f(y) = pi para todo y racional, j� que n�o tem nada
exigindo injetividade ou sobrejetividade.
Por outro lado, se quis�ssemos f cont�nua, realmente n�o � poss�vel. Seja
I um intervalo, f:I --> R satisfazendo as 3 condi��es. Seja X = Q inter
I, e Y = Q* inter I (* indica complementar). Logo, I = X uniao Y. Como f
� fun��o, #f(X) <= #X <=#Q. E pela condi��o f(Y) contido em Q, temos #f(Y)
<= #Q. Logo, f(I) � enumer�vel.
No entanto, como f � cont�nua e I � conexo, f(I) tamb�m � conexo, o que
aliado � enumerabilidade e ao fato de que estamos em R implica que f(I)
� um ponto. Assim, como f(X) inter f(Y) � vazio, a �nica possibilidade �
que I contenha apenas racionais ou apenas irracionais, logo, sendo
intervalo,
I s� pode consistir num �nico ponto. Como isso n�o � interessante, fica
provado (se � que n�o cometi erros, hehehe) que, para I n�o-degenerado,
tal f n�o pode existir.
[]s,
Daniel
'>'-- Mensagem Original --
'>'From: Artur Costa Steiner <artur.steiner@mme.gov.br>
'>'To: obm-l@mat.puc-rio.br
'>'Subject: [obm-l] RES: [obm-l] Fun��o cont�nua de irr
'>' acionais em racionais e vice versa
'>'Date: Thu, 8 Dec 2005 15:58:36 -0200
'>'Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
'>'
'>'
'>'Mesmo que vc nao exija continuidade, acho que esta funcao nao existe,
certo?
'>'Se existisse, o conjunto dos irracionais seria a imagem atraves de f
do
'>'conjunto Q, havendo assim uma sobrejecao de Q sobre os irracionais.
Mas isto
'>'eh impossivel, pois - mesmo argumento que vc usou - Q eh enumeravel
e os
'>'irracionais nao sao. Igual consideracao vale para intervalos limitados,
'>'certo?
'>'
'>'Artur
'>'
'>' -----Mensagem original-----
'>'De: owner-obm-l@mat.puc-rio.br [mailto:owner-obm-l@mat.puc-rio.br]Em
nome
'>'de
'>'Bruno Fran�a dos Reis
'>'Enviada em: quinta-feira, 8 de dezembro de 2005 12:47
'>'Para: OBM
'>'Assunto: [obm-l] Fun��o cont�nua de irracionais em racionais e vice
versa
'>'
'>'
'>'
'>'Ol�
'>'
'>'Um amigo me prop�s uma quest�o: construa uma fun��o f definida em algum
'>'intervalo dos reais (ou em todos os reais) de forma que:
'>'(i) f leva um irracional a um racional
'>'(ii) leva um racional a um irracional
'>'(iii) seja cont�nua em todos os pontos
'>'
'>'
'>'� f�cil construir uma que atenda �s condi��es (i) e (ii). � f�cil tamb�m
'>'construir uma que atenda �s condi��es (i) e (ii) e que seja racional
em uma
'>'quantidade finita (ou enumer�vel) de pontos.
'>'
'>'Agora n�o sab�amos construir uma que fosse cont�nua em todos. Eu acho
que
'>'provei que n�o � poss�vel. Seria poss�vel algu�m verificar a prova?
'>'
'>'Tome a e b no intervalo em que f est� definida, de forma que a seja
um
'>'racional e b seja irracional. Considere o intervalo definido por [f(a),
'>'f(b)] (f(a) != f(b), obviamente), que est� contido na imagem de f (pois
f
'>'�
'>'cont�nua). Ent�o temos que todos os irracionais contidos no interval
'>'[f(a),f(b)], isto �: [f(a),f(b)] inter (R - Q), devem ser imagem de
'>'racionais no intervalo [a,b]. Seja g uma restri��o de f aos racionais
do
'>'intervalo [a,b], com contradom�nio igual ao conjunto de todos os
irracionais
'>'do intervalo [f(a),f(b)], que assume os mesmos valores que f. Essa
fun��o
'>'g
'>'deve ser sobrejetora (pois tem que assumir pelo menos uma vez cada valor
'>'irracional do intervalo [f(a),f(b)], que � exatamente seu
contradom�nio).
'>'Ent�o queremos construir uma fun��o sobrejetora de um conjunto
enumer�vel
'>'em
'>'um conjunto n�o-enumer�vel, o que n�o � poss�vel (h� "mais" irracionais
que
'>'racionais, logo n�o h� valores suficientes no dom�nio de g para que
possamos
'>'atingir todos os valores do contradom�nio). Ent�o f tamb�m n�o pode
assumir
'>'todos os valores irracionais entre f(a) e f(b) somente a partir dos
'>'racionais entre a e b. Logo n�o existe tal fun��o f.
'>'
'>'T� certo issi a�?
'>'
'>'Abra�o
'>'Bruno
'>'
'>'--
'>'Bruno Fran�a dos Reis
'>'email: bfreis - gmail.com <http://gmail.com>
'>'gpg-key: http://planeta.terra.com.br/informatica/brunoreis/brunoreis.key
'>'<http://planeta.terra.com.br/informatica/brunoreis/brunoreis.key>
'>'icq: 12626000
'>'
'>'e^(pi*i)+1=0
'>'
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Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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