Re: [obm-l] trigo (essa eh f**!)

[Renato Lira <natolira@xxxxxxxxx>]

Questao classica, jah caiu igual no IME.

 

seja y=cisx  e a=cisz , com cisx= cosx + isenx

S= a+ay+ay²+ay³+...+ay^(n-1) =a(y^n -1)/(y-1) = a(cosnx -1 +isen(nx))/(cosx -1 +isenx)

como cosx -1 = -2(sen(x/2))² e senx=2sen(x/2)cos(x/2)
S=a[-2(sen(nx/2))²+2isen(nx/2)cos(nx/2)]/[-2(sen(x/2))²+2isen(x/2)cos(x/2)
S=a[(2isen(nx/2))(cos(nx/2) + isen(nx/2))]/[(2isen(x/2))(cos(x/2) + isen(x/2))]
S=cisz[sen(nx/2)cis(nx/2)]/[sen(x/2)cis(x/2)]=sen(nx/2)cis[nx/2 +z -x/2]/sen(x/2)
S=sen(nx/2)cis[((n-1)x/2 +z]/sen(x/2)

Note que a soma dos cossenos igual à parte REAL da soma dos (cis) logo, cos(a_1) + cos(a_1 +r) + cos(a_1 +2r) + ... + cos(a_1 +(n-1)r)=sen(nr/2)cos[((n-1)r/2 +a_1]/sen(r/2)

Logo, como a_n=a_1 + (n-1)r  ,  a_1+ (n-1)r/2 = (a_1 + a_n)/2

cos(a_1) + cos(a_1 +r) + cos(a_1 +2r) + ... + cos(a_1 +(n-1)r)=sen(nr/2)cos[(a_1 + a_n)/2]/sen(r/2)

 

c.q.d.

 

Tambem dá uma outra solução.. um pouco mais simples, e nao menos elegante.. eh so multiplicar a soma de cossenos por sen(r/2) em cima e em baixo.. usar a transformacao de produto em soma.. e manipular um pouco.. que tambem chega à solucao.

 

 

Renato Lira.

 

On 11/6/05, Rodrigo Augusto <mrmath_05@hotmail.com> wrote:

prove a identidade abaixo, sabendo que os arcos estao em pa de razao r:

cos(a_1) + cos(a_2) + cos(a_3) +... + cos(a_n) = {cos[(a_1/2 +
a_n/2)]*sen(nr/2)}/sen(r/2)

valeu e bom domingo pra vcs!

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