Re: RES: [obm-l] Economia na lista obm-l

[Claudio Buffara <claudio.buffara@xxxxxxxxxxxx>]

Title: Re: RES: [obm-l] Economia na lista obm-l

OK. Entao aqui vai, jah com desculpas pelo meio-off-topic.

Consideremos o caso de uma opcao de compra com 1 ano de prazo, preco de exercicio = K, sobre um ativo que hoje vale S e, daqui a um ano, vai valer:
H, com probabilidade p   ou   L, com probabilidade 1-p    (L < H)

Isso significa que a opcao dah a seu titular o direito de adquirir o ativo pelo preco K dentro de 1 ano - o caso de interesse eh, naturalmente, quando L < K < H. 
Ou seja, se daqui a um ano o ativo valer H, o titular receberah H - K (ele exercerah a opcao, adquirindo o ativo por K e, imediatamente, poderah vender o ativo no mercado, recebendo H - se ele resolver nao ficar com o ativo, ele estrarah correndo um outro risco, o qual nao tem nada a ver com a opcao). Mas se o ativo valer H, ele nao receberah nem pagarah nada.  

Para nao haver arbitragem (ou seja, lucro garantido com risco zero - algo que nao pode acontecer num mercado verdadeiramente eficiente, coisa que nenhum eh de fato!), a seguinte relacao deve ser satisfeita: L < S(1+i) < H, onde i = taxa de juros (suposta constante ao longo do ano).  Pergunta pra voce: por que essa relacao deve valer?

Nesse caso, talvez o mais surpreendente eh que o valor da opcao nao depende de p.
O que depende de p, dados H e L, eh justamente o preco a vista S.
Supondo que o mercado eh avesso a risco (o que me parece razoavel), a seguinte relacao deve prevalecer:
S < (H*p + L*(1-p))/(1+i), de modo que a rentabilidade esperada do ativo serah:
(H*p + L*(1-p))/S - 1  > i = taxa de juros de uma aplicacao sem risco

No entanto, o mercado, se for eficiente, soh exige premio de risco (ou seja, uma rentabilidade acima da taxa de juros sem risco) de um dado ativo quando este risco nao for diversificavel.

No caso das opcoes, o risco eh totalmente diversificavel, uma vez que eh possivel construir uma carteira de investimentos composta do ativo-objeto da opcao e de um emprestimo, cujo fluxo de caixa eh exatamente igual ao do ativo. Logo, para nao haver arbitragem a carteira deve valer a mesma coisa que a opcao.

Assim, um investidor que vende a opcao e compra esta carteira nao terah risco algum e, portanto, nao deveria ter lucro algum.

O valor da opcao eh facil de calcular:

Na data inicial, o investidor vende a opcao de compra, arrecadando C, toma um emprestimo de B reais a juro i, e compra n unidades do ativo-objeto.
Logo, seu fluxo de caixa eh igual a C + B - n*S

Na data final: 
1) se o ativo valer H, o investidor pagarah H - K ao comprador da opcao, B*(1+i) ao banco, e receberah n*H pelo ativo

2) se o ativo valer L, o investidor nao pagarah nada ao comprador da opcao, pagarah B*(1+i) ao banco e receberah n*L pelo ativo.
(estou supondo que L < K < H)

Se quisermos zerar o fluxo de caixa na data final, teremos que escolher n e B de modo que:
n*H - (H-K) - B*(1+i) = 0
e
n*L - B*(1+i) = 0.

Resolvendo para n e B, obtemos:
n = (H - K)/(H - L)   e   B = ((H - K)/(H - L))*L/(1+i)

Se o fluxo de caixa no fim for zero em qualquer cenario, entao o fluxo de caixa inicial serah tambem 0, ou seja, dados n e B solucoes do sistema acima, teremos: 
C = n*S - B = ((H - K)/(H - L))*(S - L/(1+i))

[]s,
Claudio.

on 05.11.05 03:29, José Diogo Barbosa at jdiogob@uol.com.br wrote:

> Olá cláudio 
>
> Gostaria de ver a resposta certa desse problema! Se puder manda pra gente. Acho a resposta do artur muito boa também. Do arthur  muito boa também! Se vc puder mostrar onde errei, vou agradecer 
>
> ps: quase nunca me manifesto9 na lista, mas fico acampando e e sei a sua importância.  
>
> Abraços 
>
>