RES: [obm-l] Calculo

[Artur Costa Steiner <artur.steiner@xxxxxxxxxx>]

Este enunciado estah contraditorio. Diz que f nao eh derivavel em c e depois
diz que f eh derivavel em c. 

Um resultado valido eh o seguinte: suponhamos que f:I -> R seja definida em
um intervalo I, seja continua em c pertencente a  I, seja derivavel em todo
x<> c de I e lim (x -->c) f'(x)= a. Entao f e derivavel em a e f'(c) = a.

Uma forma simples de ver isto eh usar a regra de L'Hopital.  Para todo x de
I distinto de c, seja g(x) = ((f(x) - f(c))/(x-c). As funcoes do numerador e
do denominador sao derivaveis eh a relacao entre suas derivadas eh f'(x)/1 =
f'(x). Por hipotese, lim (x -->c) f'(x)= a. Como f eh continua em c, lim (x
-->a) f(x) - f(c) = 0. E como x-c nao se anula em I para x<>c, as condicoes
requeridas pela Regra de L'Hopital sao satisfeitas, dela deduzindo-se que
lim (x --c) g(x) = lim (x--c)((f(x) - f(c))/(x-c) =  a. Pela definicao de
derivada, concluimos que f eh derivavel em c e que f'(c) = a.

Uma conclusao adicional deste fato eh que f' eh continua em c, pois lim
(x-->c) f'(x) = f'(c).  Assim, se f eh derivavel em c e f' tem limite em c,
entao f' eh continua em c. Logo, se f' for descontinua em c, entao f' nao
pode apresentar limite em c, o que nos remete aa conhecida conclusao de que
derivadas nunca apresentam descontinuidades do tipo salto. 

Consideracoes similares valem aa direita e aa esquerda de c.

Artur


-----Mensagem original-----
De: owner-obm-l@mat.puc-rio.br [mailto:owner-obm-l@mat.puc-rio.br]Em
nome de guilherme S.
Enviada em: quarta-feira, 2 de novembro de 2005 20:03
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Assunto: [obm-l] Calculo


    Pessoal,

 Queria uma ajuda nessa questão aqui oh:

seja A contido em  IR aberto e f: A --> IR contínua.
Se c pertence a A e f so não eh derivavel no conjunto
A em c  e existe o limite lim (x -->c) f ' (x)=alpha,
então f eh derivavel em c e vale 
f ' (c)=alpha .


valeu pessoal.


[]'s guilherme.


	



	
		
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