Re: [obm-l] funcao gama

[Dmitri Antunes <dmitriantunes@xxxxxxxxxxxx>]

A função Gama T(p) é definida para qualquer real positivo p , como já foi dito: Integral[0 , infinito] x^(p-1) e^(-x) dx. Para p=n,inteiro positivo, então:

T(p+1) = n!

Assim a função gama (definida para todo real positivo) pode ser encarada como uma generalização da função fatorial (que é definida apenas para inteiros não-negativos).

Generalizamos a definição de T(p) aos valores não-inteiros negativos de p por meio da expressão T(p + 1) = pT(p), então T(p) = 1/p*T(p + 1) (p<0 e não inteiro). Como T(1) = 1, temos

lim T(p) {quando p tende a zero pela direita} = lim T(p + 1)/p{quando p tende a zero pela direita} = + infinito e

lim T(p + 1)/p{quando p tende a zero pela esquerda} = - infinito

Portanto T(0) não é definida e de T(p) = 1/p*T(p + 1) (p<0 e não inteiro)decorre imediatamente que T(p) não é definida para os valores inteiros negativos de p.

 

É fácil provar por indução que T(n+1) = n! :

n=1: T(1+1) = 1T(1) =1 =1!

Em seguida, supomos T(n+1) = n! válida para n=k e procuramos provar sua validade para n = k + 1

T[(K + 1) + 1] = (k + 1)T(K + 1) = (k+ 1)k! (por hipótese) = (K + 1)!

Assim, T(n+ 1) = n! é verdadeira, por indução e ainda podemos utilizar esta relação para definir 0! : 0! = T(0 + 1) = T(1) = 1.

 

Um outro bom problema relacionado é provar que

T(p + k+ 1) = (p + k)(p + k -1)...(p + 2)(p + 1)T(p + 1).

 

Se eu cometi alguma falha, desde agora eu já me desculpo

atenciosamente,

 

Dmitri Antunes 
 

Adroaldo Munhoz <amunhoz@gmail.com> escreveu:

> Tudo bem, mas será que eu posso afimar que Gama(x+1) = x!, ou a função fatorial só está definida para os naturais?
>
> Edward Elric wrote: 
> > Sim, para calcular gamma de x basta resolver essa integral: 
> > Integral[0 , infinito] t^(x-1) e^(-t) dt 
> >
> >
> > > From: Adroaldo Munhoz <amunhoz@gmail.com> 
> > > Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br 
> > > To: obm-l@mat.puc-rio.br 
> > > Subject: [obm-l] funcao gama 
> > > Date: Sat, 15 Oct 2005 21:46:52 -0300 
> > >
> > >
> > >
> > >
> > >
> > >
> > >
> > >
> > > Já que a função gama para n pertencente aos naturais 
> > > (n>=1), calcula o valor do fatorial de n-1. 
> > >
> > >
> > >
> > > Gama(n)=(n-1)! 
> > >
> > >
> > >
> > > Será que posso estender este conceito para qualquer número e dizer que, 
> > > por exemplo, 
> > >
> > >
> > >
> > > Gama(pi)=(pi - 1)!, onde pi=3.14159 
> > >
> > >
> > >
> > > ???? 
> > >
> > >
> > >
> > > Abracos 
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> > > Aldo 
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