RES: RES: [obm-l] Probabilidade

[Artur Costa Steiner <artur.steiner@xxxxxxxxxx>]

A história daquela Sra e do sal, eu nao entendi nao... Poderia explicar melhor?  Vou tentar a da funcao, que parece mais facil.

 

(a) Se c =0, entao g eh constante e f(x) = x + C para alguma constante C. Segue-se automaticamente que f eh bijetora. Supondo-se c em (0, 1), admitamos que em I existam x e y distintos tais que f(x) = f(y). Entao, x + g(x) = y + g(y) => |g(x) - g(y)| = |x- y|. Como g eh Lipschitz, temos que |x - y| <=  c|x -y|. Como x e y sao distintos, concluimos que c>=1, contrariamente aa hipotese. Logo, f eh uma injecao de I sobre f(I). E como todo elemento de f(I) eh, por definicao, imagem de algum x de I, segue-se que f eh uma bijecao enter I e f(I).

 

(b) Se c = 0, entao f(x) = x + C ea conclusao eh trivialmente verificada. Se c >0, jah foi demonstrado aqui,  ha pouco tempo, que, como g eh Lipschitz com constante c e diferenciavel em I, entao |g'(x| <= c para todo x de I.   Como f'(x) = 1 + g'(x) e  0 < c < 1, temos que f' eh estritamente positiva em I (o que implica que f seja esritamente crecente em I). Por ser bijecao, f tem uma inversa f^(-1) e, como f' nao se anula em I e eh continua, um resultado classico da Analise diz que f^(-1) existe em I. 

 

(c) Suponhamos que I = R. Se c= 0 , entao f(x) = x + C e a conclusao eh imediata. Se c estiver em (0,1) entao, para todo real x, temos que |g(x) - g(0)| < = c|x|. de modo que |g(x| <= |g(0| + c|x|. Para x>0, temos entao que f(x) = x + g(x) >= x -|g(0)| -c|x| = -|g(0)| + (1-c)*x. .Como c esta em (0,1), 1-c >0 e, aumentando x, podemos tornar f arbitrariamente grande. De modo similar, fazendo x -> -oo podemos faxer f(x) -> -oo. Como f eh continuaem R, pois g que eh  Lipscitz e a funcao identidade sao continuas, temos que f(I) = R.  

 

 

Artur

 

 

 

 -----Mensagem original-----
De: owner-obm-l@mat.puc-rio.br [mailto:owner-obm-l@mat.puc-rio.br]Em nome de claudio.buffara
Enviada em: terça-feira, 18 de outubro de 2005 20:15
Para: obm-l
Assunto: Re:RES: [obm-l] Probabilidade

 

Sejam I um intervalo aberto de R, c um real em [0,1) e g: I -> R tal que:

|g(x) - g(y)| <= c|x - y| para quaisquer x e y em I.

Seja f: I -> R dada por f(x) = x + g(x).

 

a) Prove que f é uma bijeção entre I e J = f(I) = intervalo aberto de R.

 

b) Prove que se g é continuamente diferenciável, então f é um difeomorfismo (bijeção diferenciável com inversa diferenciável) entre I e J.

 

c) Prove que se I = R, então J = R.

 

[]s,

Claudio.