OK. E se quisermos medida positiva, interior vazio, fechado e sem pontos
isolados? Repare que, no exemplo abaixo, podemos ter dois intervalos
abertos da forma (a,b) e (b,c), de modo que b seria um ponto isolado do
complementar da união dos intervalos.
Será que dá pra escolher, para cada racional r_n, um intervalo aberto I_n
tal que isso nunca ocorra?
Claudio.
> E se, além de medida positiva e interior vazio, exigirmos que o
tal conjunto seja fechado?
>
> []s,
> Claudio.
>
>
| De: |
owner-obm-l@mat.puc-rio.br |
>
| Para: |
obm-l@mat.puc-rio.br |
>
| Data: |
Thu, 13 Oct 2005
12:13:18 -0300 |
>
| Assunto: |
RES: [obm-l]
Medida Positiva e Interior Vazio |
> > Na
realidade, nos demos um exemplo ainda mais marcante: o de um conjunto aberto
e denso em R mas com medida arbitrariamente proxima de
zero.
> >
> > Um
conjunto com medida infinita e interior vazio eh o dos irrracionais. Se
quisermos medida finita e positiva, tomemos os irrracionais em [0, 1], Tem
medida 1.
> >
> > A
funcao de Thomae eh um exemplo de funcao continua so nos irracionais, certo?
f(x) = 0 se x for irracional, f(x) =1 /n se x = m/n
for racional, m e n>0 primos entre si. Agora, eu
quero ver alguem dar um exemplo de funcao continua nos racionais e
descontinua nos irracionais.
> >
> > Considremos agora f(x) = x/2 + (x^2)*(sen(1/x) se x<>0 e
f(x) = 0 se x = 0. Entao f'(0) = lim (x -> 0) (x/2 + (x^2)*(sen(1/x)))/x
= lim (x -> 0) 1/2 + x*sen(1/x) = 1/2 > 0.
> > Temos
que 2*x*sen(1/x) => 0 quando x=> 0 e que, em qualquer intervalo
aberto do tipo (0, a), 1/2 + cos(1/x) passa infinitas vezes pelos
valores -1/2 e 3/2. de modo que, em qualquer intervalo contendo a origem, f
tem uma infinidade de maximos e minimos relativos. Logo, f nao eh monotonica
em nenhum destes intervalos.
> >
> > Isto ilustra que f'(a) >0) nao eh condicao suficiente
para que a seja ponto de crescimento de f. Dizemos
que a eh ponto de crescimento de f se
existir uma vizinhanca de a na qual f seja
crescente.
> >
> > Artur
> >
] -----Mensagem
original-----
De: owner-obm-l@mat.puc-rio.br
[mailto:owner-obm-l@mat.puc-rio.br]Em nome de
claudio.buffara
Enviada em: quarta-feira, 12 de outubro de
2005 22:53
Para: obm-l
Assunto: [obm-l] Medida Positiva
e Interior Vazio
> > Oi, pessoal:
> >
> > Noutro dia o Artur pediu um exemplo de conjunto denso em R
e de medida nula. Isso me lembrou de outro problema parecido:
> >
> > Dê um exemplo de subconjunto de R com medida positiva e
interior vazio.
> >
> > Outros dois bonitinhos são:
> > Dê um exemplo de função real contínua nos irracionais e
descontínua nos racionais.
> > e
> > Dê um exemplo de uma função real f derivável em todo ponto,
tal que f'(0) > 0 mas que não seja crescente em nenhum intervalo
contendo a origem.
> >
> > No mais, alguém já descobriu por que um chicote estala
quando é usado?
> >
> > []s,
> > Claudio.
> >