Re: [obm-l] Equacao diferencial

[Artur Costa Steiner <artur_steiner@xxxxxxxxx>]

Esta equacao diferencial eh equivalente a y' -
(q(x)/p(x)*y = f(x)/p(x). Assim, eh do tipo dy/dx +
r(x)*y = s(x). No seu caso, r(x) = - q(x)/p(x) e s(x)
= f(x)/p(x). A ideia para a resolucao deste tipo de
equacao eh multiplicar ambos os mebros por uma funcao
t(x), de modo a que no primeiro membro tenhamos
d(t*y)/dx.

Omitindo o argumento x para simplificar a notacao,
devemos entao ter que t*dy/dx + t*r*y = t*dy/dx +
y*dt/dx => t*r*y = y*dt/dx => t*r = dt/dx,
admitindo-se que y nao seja identicamente nula. Assim,
caimos na eq. de variaveis separaveis dt/t = r*dx que
nos leva a que t = exp(integral(r*dx)) = exp(R), sendo
R uma primitiva de r, admitindo-se que exista. Logo, a
equacao original fica d(t*y)/dx = T*s => t*y = U,
sendo U uma primitiva de T*s, admitindo-se que exista.
Finalmente, y = U/t, definida para valores de x que
nao anulem t. Na pratica, esta solucao bonitinha vai
quase sempre dar umas integrais tao complicadas que
nao se vai conseguir determinar as primitivas.    

Vemos que calculamos 2 primitivas, cada uma delas
dando uma constante de integracao. Assim a solucao
para y eh uma familia de funcoes dependendo de duas
constantes. Foram dadas duas condicoes de contorno, de
modo que vc vai obter um sistema com 2 equacoes e duas
incognitas a determinar. Pode ser que haja mesmo uma
unica solucao, mas esta afirmacao nao pode ser feita a
priori, pois depende das funcoes envolvidas na equacao
diferencial.

Artur

--- Tertuliano <tertuca@yahoo.com.br> wrote:

> Ola a todos!
> Alguem poderia me ajudar nesta?
> 
> Considere o seguinte problema de contorno:
> 
> [p(x)y']'-q(x)y = f(x)
> y(0)=a, y(L)=b
> 
> a, b e L sao constantes, p(x)>0 e q(x)>=0. Mostre
> que
> se o problema admite solucao entao ela eh unica.
> 
> Grato,
> 
> Tertuliano
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