RES: [obm-l] Dois Problemas Russos

[Artur Costa Steiner <artur.steiner@xxxxxxxxxx>]

O primeiro, rapidinho, sem muita formalizacao.

Quando os argumentos forem potemcias de 10, entao vc vai obtendo numeros da
forma a_m0000...a_n000....a_1, onde a_1 eh o termo independente e a_m o
coeficiente do termo de grau m. Assim, a soma dos algarismos de P(1) =
a_1....+a_m repete-se infinitas vezes.

Artur  

-----Mensagem original-----
De: owner-obm-l@mat.puc-rio.br [mailto:owner-obm-l@mat.puc-rio.br]Em
nome de Paulo Santa Rita
Enviada em: terça-feira, 11 de outubro de 2005 11:08
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Assunto: [obm-l] Dois Problemas Russos


Ola Pessoal,

Seguem dois problemas traduzidos das Olimpiadas Russas :

PROBLEMA 1) Seja P(X) um polinomio com coeficientes inteiros e para todo 
numero natural N seja An a SOMA DOS DIGITOS de P(N). Prove que na sequencia 
A1, A2, A3, ... ha um numero que se repete infinitas vezes.

PROBLEMA 2) Dados os numeros reais A1, A2, ..., An, B1, B2, ..., Bn e os 
números reais positivos P1, P2, ..., Pn, Q1, Q2, ..., Qn. Com estes numeros 
construimos uma matriz N x N onde na posicao (i,k) colocamos o número :

(Ai + Bk ) / (Pi + Qk)

Prove que existe um numero na matriz que construimos ( "NUMERO SELA" ) com a

seguinte propriedade : ele nao e menor que qualquer outro de sua linha e nao

e maior que qualquer outro de sua coluna.

OBS1 : Apesar de nao ser possivel fazer um paralelo rigoroso entre o ensino 
russo e o nosso, eu diria que estas questoes poderiam ser propostas nas 
nossas Olimpiadas para a 7/8 series. Evidentemente que nao se pode usar 
Calculo Diferencial na solucao.

OBS2 : A traducao e minha. Qualquer erro e de minha inteira 
responsabilidade. Qualquer duvida e so ler diretamente do idioma eslavo.

Mais problemas russos em :

http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/psr

Um Abraco a Todos
Paulo Santa Rita
3,1100,111005

_________________________________________________________________
Chegou o que faltava: MSN Acesso Grátis. Instale Já! 
http://www.msn.com.br/discador

=========================================================================
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=========================================================================

=========================================================================
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=========================================================================