RES: [obm-l] sequencia sem subseq. convergentes

[Artur Costa Steiner <artur.steiner@xxxxxxxxxx>]

Oi Bernardo, esta sua solucao eh ainda mais legal do que a que eu consegui
dar uma vez (depois que me deram uma porcao de sugestoes...). Eh na linha da
sua, mas eu me restringi aaa integral de Riemann.

Se alguma subsequencia (sen(n_k*x) de (sen(n*x)) convergisse em [0, 2*pi],
entao o criterio de Cauchy implicaria que lim (sen(n_(k+1)* x - sen(n_k* x)
= 0 para todo x de [0, 2*pi]. Logo, pensando tambem em quadrados, teriamos
que lim ((sen(n_(k+1)* x) - sen(n_k* x)^2)) = 0. Pelo teorema da
Convergencia Dominada, aplicado ao caso de Riemann, teriamos entao que lim
Int (0 a 2*pi) (sen(n_(k+1)* x) - sen(n_k* x)^2)dx = Int (0 a 2pi) 0 dx = 0.


Mas, com algum trabalho, podemos verificar que, para todo k, Int (0 a 2*pi)
(sen(n_(k+1)* x) - sen(n_k* x))^2 = 2*pi. Para concluir isto, basta fazer
algumas substituicoes trigonometricas, eh um pouco trabalhoso mas facil.
Assim, a subsequencia das integrais eh constante e converge trivialmente
para 2*pi, contrariando a conclusao anterior de que tem que convergir para
0. Logo (sen(n*x) nao pode ter nenhuma subsequencia que convirja em [0,
2*pi].

Artur



-----Mensagem original-----
De: owner-obm-l@mat.puc-rio.br [mailto:owner-obm-l@mat.puc-rio.br]Em
nome de Bernardo Freitas Paulo da Costa
Enviada em: segunda-feira, 10 de outubro de 2005 16:31
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Assunto: Re: [obm-l] sequencia sem subseq. convergentes


Bom, talvez eu esteja enviando a solu�~ao "n~ao-evidente", mas como eu
acho que ela vale a pena, (e talvez porqu� eu tamb�m ache que ela n~ao
� t~ao estranha assim, pensando em S�ries de Fourrier), l� vai:

Como eu sei que voc� gosta de medida etc, vamos para L^2[0,2pi]. � um
fato "bem-conhecido" que estas fun�~oes formam uma base para este
espa�o, com a converg�ncia L^2 e o produto interno \int_0^2pi
f^*(x)g(x)dx (integral de 0 a 2pi do conjugado de f vezes g). Ora, �
claro que n~ao podemos ter uma seq��ncia ortonormal que convirja,
ent~ao (como toda subseq��ncia de sen(n*x) tamb�m forma uma seq��ncia
ortonormal) sabemos que sen(n*x) n~ao converge na norma L^2. Agora, um
pouco de teoria da medida nos diz que, sendo todas elas limitadas e
integr�veis neste intervalo (ou seja, em L^1), limitadas uniformemente
pela fun�~ao 1, se uma subseq��ncia convergisse pontualmente para
algum lugar (digamos g(x), que � limitada e mensur�vel pois todas s~ao
uniformemente limitadas por 1 e mensur�veis), logo est� em L^2), pelo
teorema de Converg�ncia Dominada,
\int_0^2pi | (sin(k_n*x) -g) - (sin(k_m*x)-g) |^2 dx convergiria para
zero (use ConvDom para cada metade mais desigualdade triangular na
integral com eps/2).
Mas isso � exatamente || sin(k_n*x) - sin(k_m*x) ||_2 (norma L^2), que
n�s sabemos que vale \sqrt(2), pois eles s~ao ortogonais, e assim n~ao
pode convergir pra zero. (isso � basicamente f_n -> f pontualmente, f
est� em L^1 => f_n -> f em L^1 adaptado pra L^2 e com a
contrapositiva...)

Resta mostrar que estas fun�~oes s~ao realmente ortogonais em L^2, o
que � uma tarefa de integra�~ao: calculemos \int_0^2pi
sin(n*x)sin(m*x) dx para m != n

I = \int_0^2pi sin(n*x)sin(m*x) dx = m/n \int_0^2pi cos(n*x)cos(m*x)
dx = m^2/n^2 \int_0^2pi sin(n*x)sin(m*x) dx = m^2/n^2 I (2 vezes por
partes)
Logo I(1 - m^2/n^2) = 0, o que diz que I = 0

Bom, parece longo, mas a id�ia b�sica � a seguinte (tipo "resumindo"):
sin(n*x) � ortonormal em L^2, logo n~ao converge pra lugar nenhum.
Como converg�ncia pontual + limita�~ao implica converg�ncia L^2, n~ao
pode convergir pontualmente. O resto � detalhe.

Abra�os,
--
Bernardo Freitas Paulo da Costa


On 10/10/05, Artur Costa Steiner <artur.steiner@mme.gov.br> wrote:
> Este problema eh interessante, e a unica prova que conheco nao eh muito
> evidente. Talvez haja uma solucao mais simples:
>
> Mostre que a sequencia de funcoes (sen(n*x)), n=1,2,3....., x em [0,
2*pi],
> nao contem nenhuma sub sequencia convergente em todo este intervalo.
>
> Artur
>
> O interessante eh que temos uma sequencia uniformemente limitada de
funcoes
> continuas, definidas em um conjunto compacto, e que mesmo assim nao tem
> nenhum asubsequencia convergente.
>
> Artur
>
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> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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