| De: |
owner-obm-l@mat.puc-rio.br |
| Para: |
"OBM-l (E-mail)"
obm-l@mat.puc-rio.br |
| Data: |
Tue, 4 Oct 2005
12:16:28 -0300 |
| Assunto: |
[obm-l] Funcao de
Lipschitz |
> Eu acho esses problemas sobre funcoes de Lipschitz bonitinhos:
>
> (1) - seja D um subconjunto de R^n e f:D => R^m Lipschitz em D.
Mostre que
> (a) Existe uma menor constante de Lipschitz associada a f em D.
Seja A = {K em R | |f(x) - f(y)| <= K*|x - y| para todos x e y em
D}.
É claro que A é limitado inferiormente (por 0, por exemplo) de modo que
existe L = inf(A).
Se f for constante, então L = 0. Assim, suponhamos que f não é constante
e, em particular, que D tem mais do que um elemento. Isso quer dizer que L
> 0.
Suponhamos que L não pertence a A, ou seja, que A = (L,+infinito).
Então existem a e b em D tais que, para todo eps > 0:
0 < L*|b - a| < |f(b) - f(a)| <= (L + eps)*|b - a|
Como eps é arbitrário, isso quer dizer que:
0 < L*|b - a| < |f(b) - f(a)| <= L*|b - a| ==>
contradição ==>
L pertence a A.
> (b) Se K eh esta menor constante, entao, para todo eps >0,
existem x1 e > x2<>x1 em D tais
> que ||f(x2) - f(x1)|/|x2 - x1| - K| < eps
Dado eps > 0, existem x e y em D tais que x <> y e:
(K - eps)*|x - y| < |f(x) - f(y)| < (K + eps)*|x - y| ==>
K - eps < |f(x) - f(y)|/|x - y| < K + eps ==>
||f(x) - f(y)|/|x - y| - K| < eps
(c) Se K eh constante de Lipschitz
> de f em D e existirem x1<>x2 em D tais que:
> |f(x2) - f(x1)| = K*|x2 - x1| ,
> entao K eh a menor constante de Lipschitz de f em D. A reciproca
eh
> verdadeira?
>
K é constante de Lipschitz mas, para todo eps > 0, teremos:
|f(x2) - f(x1)| = K*|x2 - x1| > (K - eps)*|x2 - x1| ==>
K - eps não é constante de Lipschitz ==>
K é a menor constante de Lipschitz de f em D.
A recíproca não vale.
Seja f:(1,+infinito) -> R dada por f(x) = raiz(x).
Então, dados x < y em (1,+infinito), teremos:
raiz(y) - raiz(x) = (y - x)/(raiz(y) + raiz(x)) < (y - x)/2,
de modo que f é Lipschitz com constante 1/2.
No entanto, não existem x e y distintos em (1,+infinito) tais que:
|raiz(y) - raiz(x)| = (1/2)*|y - x|,
pois dividindo ambos os membros por |raiz(y) - raiz(x)|, obteremos:
raiz(y) + raiz(x) = 2, o que é impossível com x e y em
(1,+infinito).
****
> (2) Sejam I um intervalo de R e f:I => R derivavel em I. Entao, f
eh
> Lipschitz em I se, e somente se, f' for limitada em I, caso em que
K
> =supremo {|f'(x)| | x estah em I} eh a menor constante de Lipschitz
de f em
> I.
>
Se |f'(x)| <= M para todo x em I, então, dados x < y em I, pelo TVM
existirá z tal que x < z < y e |f(y) - f(x)| = |f'(z)|*|y - x| <=
M*|y - x| ==> f é Lipschitz em I com constante M
Reciprocamente, se f é Lipschitz em I com constante K, então, dado a em
I, para todo x em I - {a} teremos - K <= (f(x) - f(a))/(x - a) <= K
==>
-K <= lim(x -> a) (f(x) - f(a))/(x - a) <= K (limites laterais
se a for um dos extremos de I) ==> -K <= f'(a) <= K ==> |f'(a)|
<= K. Como a é qualquer, o resultado segue.
Seja K = supremo {|f'(x)| | x estah em I}.
Então, pelo TVM, é claro que f é Lipschitz com constante K.
Dado L com 0 < L < K, existe a em I tal que |f'(a)| >
L.
Isso quer dizer que existe delta > 0 tal que:
x pertence a I e 0 < |x - a| < delta ==> |(f(x) -
f(a))/(x - a)| > L
Ou seja, |f(x) - f(a)| > L*|x - a| ==> L não é constante de
Lipschitz para f.
Acho que o mais interessante desse problema é que ele
ilustra uma das propriedades mais importantes e úteis dos limites: a
permanência das desigualdades.
[]s,
Claudio.
>
> Lembrando, f eh Lipschitz em D se existir uma constante K>0 tal
que |f(x2)
> - f(x1)| <= K*|x2 - x1| para todos x1 e x2 de D. Eh imediatpo que
se K for
> constante de Lipschitz, entao todo K' > K tambem eh.
>
> Artur
>