[obm-l] RES: [obm-l] Exercício de analise

[Artur Costa Steiner <artur.steiner@xxxxxxxxxx>]

Suponhamos que (a) vigore e, nos reais expandidos, sejam a e b os pontos extremos inferior e superior de I. Se x<y pertencem a I entao, a<= x <  y <= b. Se x < z < y, entao a < z < b, de modo que z pertence a I. Logo, (a) => (b).

 

Suponhamos agora que (b) vigore e, nos reais expandidos, sejam  w = infimo I e s = supremo I..Se w=s, entao I contem um unico elemento, podendo ser visto como um intervalo fechado degenerado.  Se w <  s, entao, para todo z pertencente a (w, s) temos w < z < s, existindo assim (definicoes de supremo e de infimo)  x e y em I tais que w <= x < z < y <= s. Pela hipotese (b), segue-se  que z pertence a I, o que implica que (w, s) esteja contido em I. Logo, (w,s) contido em I contido em [w,s]. Dito de outra forma, isto significa que ou I =(w,s) ou, alem dos elementos de (w,s), I contem um ou ambos os elementos de {w,s}. Para que isto seja possivel, temos necessriamente que I eh  um intervalo com pontos extremos w e s. Logo, (b) => (a).

 

Artur

 

[Artur Costa Steiner] M ensagem original-----
De: owner-obm-l@mat.puc-rio.br [mailto:owner-obm-l@mat.puc-rio.br]Em nome de Raphael Santos
Enviada em: domingo, 2 de outubro de 2005 23:08
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Assunto: [obm-l] Exercício de analise

Boa Noite a todos da lista,

 

Gostaria de uma ajuda no seguinte exercicio:

 

Verificar que as afirmações são equivalentes:

 

(a) I C R é um intervalo;

(b) Dados x e y em I, se z € R é tal que x<z<y, então z € I;

 

obs.:  C - está contido; R - Conj. dos Num. Reais; € - pertence

 

Obrigado,

 

Raphael

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