RES: [obm-l] f((x+y)/2) <= (f(x) + f(y))/2

[Artur Costa Steiner <artur.steiner@xxxxxxxxxx>]

Obrigado Claudio. Vou olhar o livro do Elon.

Eu tive a confirmacao de que a afirmacao feita eh verdadeira. Recebi agora
uma sugestao de como prova-la. 

Assim, se uma f satisfizer a f((x+y)/2) <= (f(x) + f(y))/2 para todos x e y
de um intervalo aberto I e, mesmo assim, conseguir nao ser convexa, entao
esta funcao tem mesmo um comportamento terrivel. Eh ilimitada e nao eh
Lebesgue mensuravel. Acho que so se constroem funcoes que nao sejam Lebesgue
mesuraveis com uso do axioma da escolha. Para conjuntos, de fato so com o
axioma da escolha.

Artur

  

-----Mensagem original-----
De: owner-obm-l@mat.puc-rio.br [mailto:owner-obm-l@mat.puc-rio.br]Em
nome de Claudio Buffara
Enviada em: sexta-feira, 30 de setembro de 2005 10:25
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Assunto: Re: [obm-l] f((x+y)/2) <= (f(x) + f(y))/2


on 29.09.05 15:45, Artur Costa Steiner at artur.steiner@mme.gov.br wrote:

> Oi a todos,
> 
> Supomhamos que f seja seja definida em um intervalo aberto I e que
satisfaca
> a f((x+y)/2) <= (f(x) + f(y))/2 para todos x e y de I. Sabemos que se f
for
> continua, entao f eh convexa em I. Sabemos tambem que se f for Lebesgue
> mensuravel, entao f eh continua e, portanto, convexa.
> 
> Eu nao estou certo e ainda nao consegui chegar a uma conclusao, mas me
> parece que, se alem de satisfazer aa dada equacao funcional, f for
limitada
> em I, entao f eh continua e, portanto, convexa. Alguem ja tentou
demonstrar
> isto? (foi-me afirmado que isto eh verdade, mesmo que I seja ilimitado).
> 
> Artur
> =========================================================================

Oi, Artur:

No livro Analise Real - vol. 1 do Elon ha uma secao que trata exclusivamente
de funcoes convexas e prova a maioria dos resultados basicos sobre o
assunto.

[]s,
Claudio.

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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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