RES: [obm-l] Ajuda em Complexos

[Artur Costa Steiner <artur.steiner@xxxxxxxxxx>]

Nesta questao do seno, cosseno e exponencial, um ponto que me parece
interessate eh o que eh definicao e o que eh consequencia. Se definirmos as
funcoes trigonometricas atraves do circulo trigonometrico, entao as series
aas mesmas associadas sao expansoes de Taylor. Mas, para isso, eh preciso
definir de forma precisa o conceito intuitivo de comprimento.

Definindo-se seno e cosseno pelo circulo trigonometrico, entao todas as
consequencias quanto a continuidade e diferenciabilidade basiam-se na
desigualdade fundamental |sen(x)| <= |x| com igualdade sse x =0, a qual eh
usualmente deduzida de forma geometrica com base no Postulado de Euclides.
Além disso, a definicao baseada no circulo trigonometrico nao se aplica a
complexos, de modo que, em livros de analise, seno e cosseno sao definidos
por series de potencias. Neste caso, o argumento da funcao perde a conotacao
geometrica de angulo. Mas eh interssante observar que em Fisica (forcas,
velocidade aceleracao,  campo eletrico, etc) e em Engenharia eh de suma
importancia que estas argumentos sejam de fato "angulos" no sentido
geometrico.   

Quanto aa funcao exponencial, eu nao sei como defin-la para os reais sem
utilizar calculo. Para racionais, podmos defini-la sem calculo, mas para
extende-la oas reais e, aos complexos nao sei como fazer sem recorrer ao
calculo.  Desta forma, as series de Taylor da funcoes exponenciasie
trigonometricas sao, numa analise mais profunda, as suas definicoes
(continuam sendo seris de Taylor porque a serie de Taylor de uma funcao
analitica - dada por uma serie de potencias - eh a mesma serie  que a
define). 

Existem ainda outras formas de se definirem a exponencial e as funcoes
trigonometricas, as quais levam aas series de potenciad. Podemos, por
exemplo, definir a funcao exponencial E como aquela tal que E'(z) = E(z)
para todo complexo z e E(0) =1. Podemos tambem definir o seno S por S(0) =
0, S'(0) = 1 e S''(z) = -S(z) para todo complexo z.

Artur



-----Mensagem original-----
De: owner-obm-l@mat.puc-rio.br [mailto:owner-obm-l@mat.puc-rio.br]Em
nome de Demetrio Freitas
Enviada em: quinta-feira, 22 de setembro de 2005 18:00
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Assunto: Re: [obm-l] Ajuda em Complexos



A fórmula mais importante da matemática, segundo
alguns.  Você pode mostrar escrevendo a série de
taylor para exp(iy) e comparando com a soma das séries
de cos(y) + isen(y)....

--- Paulo Cesar <pcesar26@gmail.com> escreveu:

> Boa Tarde
>  Alguém sabe me dizer o porquê da igualdade: exp(iy)
> = cosy + iseny ?
>  Abraços
>  PC
> 


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