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RES: [obm-l] continuidade
Para
se decidir se uma funcao eh continua, eh imperioso definir claramente o seu
dominio. A famosa definicao epsilon-delta de continuidade, para funcoes
definidas em um subconjunto D de R^n e com valores em R^m, diz:
f eh
continua em a pertencente a D se, para todo eps>0, existir um d>0
tal que, se x estah em D e || x-a|| < d, entao ||f(x) - f(a)|| < eps.
Vemos assim que esta definicao so faz sentido para elementos do dominio D. Fora
de D, nao faz sentido dizer se uma funcao eh continua ou descontinua. Tais
conceitos simplesmente nao se aplicam.
Se a
for ponto de acumulacao de D ( caso mais usual), entao esta definicao equivale a
dizer que lim (x => a) f(x) = f(a). A definicao de continuidade acarreta
aautomaticamente que, em elementos de D que nao sejam pontos de acumulacao
de D, f seja sempre continua.
Eh
importante observar que, contrariamentea ao conceito de continuidade, o conceito
de limite faz sentido para elementos nao pertencentes a D, desde que sejam
pontos de acumulacao de D. Limites, entretanto, nao sao definidos em elementos
que nao sejam pontos de acumulacao de D. (existe eh claro o conceito de
limite no infinito).
No
caso em questao, temos uma funcao de R - {0} em R. O dominio nao foi
especificado, logo estou admitindo, conforme usual, que seja o maior possivel
(esta funcao poderia estar definida nos complexos nao nulos, mas estou me
detendo nos reais). Um conhecido fato, que se encontra em qualquer livro de
analise, eh que esta funcao eh continua em todo seu dominio. Logo, eh
continua. Observe que 0 nao pertence ao dominio da
funcao.
Artur
Gostaria de saber se 1/x é uma função
contínua. A definição de continuidade é que está em discussão, portanto deixo
a opção de escolha ao respondente.
Obrigado, J.
ATt