RES: [obm-l] Teoria da Medida

[Artur Costa Steiner <artur.steiner@xxxxxxxxxx>]

Assumindo-se mais uma vez que, em (b) seja Sigma-(g), e nao Sigma-(f) 

(b) - Temos que todo conjunto de Sigma(h) eh da forma A Uniao (1-A), A
conforme definido em (a). Como g eh Borel mensuravel, para todo aberto V de
R temos que h^(-1)(V) = A Uniao (1-A), para algum A de Borel_{0,1/2].
Para todo x de [0,] existe uma vizinhanca V de h(x), de modo que x pertence
a  h^(-1)(V) = A Uniao (1-A). Entao, 1- x pertence a 1- A e, portanto, 1-x
pertence a  h^(-1)(V), de modo que h(1-x) pertence a V. Como V eh uma
vizinhaca arbitraria  de g(x), concluimos que, para todo eps >0, h(x) e
h(1-x) estao em (x-eps, x+eps). Para que isto seja possivel, temos
necessariamente que h(x) = h(1-x), equacao valida em todo [0,1].

Artur   

-----Mensagem original-----
De: owner-obm-l@mat.puc-rio.br [mailto:owner-obm-l@mat.puc-rio.br]Em
nome de Cleiton Silva
Enviada em: sexta-feira, 9 de setembro de 2005 08:45
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Assunto: [obm-l] Teoria da Medida


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Nota��o: 
1) Borel_([a,b]) � a menor sigma-algebra gerada pelos
abertos do intervalo [a,b] (a m�trica � a usual: |.|);

2) Borel_(R) � a menor sigma-algebra que cont�m todos
os abertos da reta.

3) f:R -> R uma fun��o Borel mensur�vel: Sigma_(f) � a
menor sub-sigma-algebra de Borel_(R) com rela��o a
qual f � mensur�vel.

4) A um subconjunto da reta; 1-A={x da reta : x = 1-a,
a pertencente a A}
_________________________________________________________

Problema:
Seja g:[0,1]->R borel mensur�vel qualquer, tal que
g(w)=g(1-w). Mostre que:

a) Sigma_(f) ={ B subconjunto de [0,1] : B=A UNIAO
(1-A), A pertence ao Borel_([0,1/2]) };

b) Seja h:[0,1]->R mensur�vel com respeito a Sigma_(f)
(ou seja h � tal que Sigma_(h) est� contido em
Sigma_(f)). Mostre que h � tal que h(w)=h(1-w);

c) Existe alguma h Sigma_(f) mensur�vel tal que
Sigma_(h) � subconjunto PR�PRIO de Sigma_(f)? Se sim,
d� um exemplo; se n�o, justifique.

[]'s


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