Re: [obm-l] Princípio da Indução Finita

[saulo nilson <saulo.nilson@xxxxxxxxx>]

a) Mostre pelo PIF que n!^2 é maior ou igual a n^n.

1|^2=1^1

3|^2=36>3^3=27

hipotese

n|^2>=n^n

 

(n+1)|^2=(n+1)^2*n|^2>=(n+1)^2*n^n=(n+1)(n+1)*n*n*n*n*n*n*n,,,,*n*n*n*n*n*n*n( produto de n enes n enes)

 

 

seja

x= n^n - (n+1)^t

temos que achar 1o valor inteiro de t que torna x>0,

t=n

n=2

4-3^2<0

t =n-1

n^n-(n+1)^n-1

n=2

4 - 3>0

t=n-2

2^2-3^0>0

de forma que o valor procurado e t=n-1

n^n>(n+1)^(n-1)

de forma que se um numero e maior que n^n ele vai ser maior ainda que (n+1)^(n-1)

 

(n+1)|^2>=(n+1)^2*n^n>=(n+1)^2*(n+1)^(n-1)=(n+1)^(n+1)

 

2)

 

y =(ab)^1/2

(a+b)/2=x

a =2x-b

y =raiz(2xb-b^2)

y tem um maximo que e dado por:

2x - 2b=0

x=b

(ab)^1/2<=b

repare que a equaçao podia ser colocada em funçao de a tambem, ai encontrariamos:

(ab)^1/2<=a

somando as duas

2(ab)^1/2<=b+a

(a+b)/2>=(ab)^1/2

 

 

 

On 9/5/05, Guilherme Neves <guigo_neves@hotmail.com> wrote:

a) Mostre pelo PIF que n!^2 é maior ou igual a n^n.

b) Mostre que a média aritmética entre dois números é maior ou igual à média geométrica.

 

========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================