[obm-l] dertivada como limite de uma seq. de funcoes continuas

[Artur Costa Steiner <artur.steiner@xxxxxxxxxx>]

Eu estou tentando demonstrar a seguinte afirmacao, mas encontrei dificuldade
em alguns casos particulares.
Se f eh dervavel em um intervalo aberto I, entao f' eh dada pelo limite de
uma sequencia de funcoes continuas em I.
Inicialmente, suponhamos que I seja da forma (a, oo), com a real or -inf.
Uma abordagem eh definir uma sequencia t_n que convirja para 0 e satisfaca a
t_n > 0 para todo n. Definindo-se agora g_n(x) = (f(x + t_n) - f(x))/(t_n),
verificamos que cada g_n eh continua e que g_n => f'. Para intervalos do
tipo (-oo, a) a abordagem eh similar. 
Um caso um pouco mais sutil sao os intervalos da forma (a,b), com a e b
reais. Admitindo-se que f tenha limite L em b-, podemos supor que t_n esta
em (0, b-a) 
para todo e definir g_n(x) = (f(x + t_n) - f(x))/(t_n) se a < x < b  - t_n e
g_n(x) = (L - f(b -t_n))/(t_n) se b-t_n <= x < b. Cada g_n eh entao continua
em (a,b) e, como para n suficientemente grande temos x < b - t_n para todo x
de (a,b), segue-se que g_n => f'. De modo similar, podemos abordar o caso em
que f apresenta limite em a+.
Pode entretanto ocorrer o caso em que a e b sejam reais e f nao tenha limite
nem em a+ e nem em b-. Neste caso, nenhuma das duas abordagens apresentadas
da certo.   
Me ocorreu uma outra, qual seja, definir agora t_n <> 1 para todo n com t_n
=> 1 e definir g_n por g_n(x) = (f((t_n)* x) - f(x))/((t_n - 1)*x) para todo
x<>0 de (a,b). Se 0 nao estiver em (a,b) esta abordagem da certo, pois as
g_n sao continuas e a sequencia (g_n) converge para f'. Mas se 0 estiver em
(a,b) nao funciona para x =0, nem mesmo se admitirmos que f' eh continua em
x =0. Nao dah para definir f(0) de modo a garantir que as g_n sejam sempre
continuas em (a,b). Alem disto, de modo geral (g_n(0)) nao converge para
f'(0).
Assim, faltou um arremate final, talvez alguem possa dar uma sugestao.
Uma conclusao interessante deste teorema eh que o conjunto das
descontinuidades de f' em I eh magro, segundo a classificacao de Baire (eh
dado por uma uniao enumeravel de conjuntos fechados com interior vazio).
Logo, o conjunto das continuidades eh denso em (a, b), o que significa que
derivadas nunca sao "muito" descontinuas. Mas isto nao siginfica que o
conjunto das descontinuidades tenha medida nula
Obrigado
Artur

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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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