Re: [obm-l] Desigualdade

[Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet <peterdirichlet2003@xxxxxxxxxxxx>]

1)Bem, por Médias Potenciais 
((a^4+b^4)/2)^(1/4) >= (a+b)/2
Agora basta substituir!

2)Eu achei uma solução que é só abrir os termos, mas
não achei muita graça nela. Entao nao vou postar ate
que veja algo melhor...

3)Que eu mal lhe pergunte, quantos sqrt aparecem nessa
expressão? Vou fazer umas suposições mas se nao for o
caso corrija-me.

Vou escrever isso:

S_1=a^(1/2)
S_(n+1)^2=S_n + a para n>=1.

Veja que esta recorrência dá o valor do lado esquerdo
da desigualdade.

Entao o que queremos demonstrar é que S_n <
(1+sqrt(4a+1))/2

Se você for abrindo a expressão para se livrar da raiz
quadrada, voce logo ve que a expressao equivale a 

S_n^2-S_n<a

Mas se pegarmos a recorrência logo acima, temos
a+S_(n-1)-S_n<a
Ou S_n-1<S_n
E isso sai com uma inducao simples!

- Danilo Nascimento <souza_danilo@yahoo.com.br>
escreveu:

> 1) Demonstrar que se a+b=1, entao a^4 + b^4 >= 1/ 8
>  
> 2) Demonstrar que se |x|<1, para quaisquer valor
> inteiro de n>=2 se cumpre a desigualdade (1-x)^n +
> (1+x)^n < 2^n
>  
> 3) Demonstrar a desigualdade
> sqrt(a+sqrt(a+sqrt(a+.......+sqrt(a)<
> (1+sqrt(4a+1))/2, a>0
>  
> Agradeço,
>  
> []´s 
>  
>     Danilo
> 
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http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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