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Caríssimos,
Bom, vou reproduzir meu raciocinio abaixo, espero
que faça sentido,. heheheh
Aí vai a explicação das constantes:
como xo e yo são raízes da equação ax+by+c=0
podemos fazer axo+byo+c=0
isolando xo e yo, temos
xo = -byo/a -c/a
yo = -axo/b - c/b
seja entao k' e k'' duas constantes inteiras, as
quais serao somadas, respectivamente, a xo e yo,
temos entao
xo = -b(yo+k'')/a -c/a -k'
yo = -a(xo+k')/b - c/b -k''
substituindo d nvo na equaçao...
-b(yo+k'')-c-ak'-a(xo+k') -c -bk'' +c =0
multiplicando td por -1 e isolando a e b temos
a(xo+2k')+b(yo+2k'')+c=0
portanto achamos outra solução pra equaçao, o par (xo+2k';yo+2k'').
pois bem, se esse par tambem é soluçao e foi encontrado a partir do
primeiro, atraves da soma de duas constantes, q reaparecem na nova
soluçao,
e como Z é infinito, todo inteiro tem sucessor etc, demonstra-se o
desejado.
Espero que tenha sido mais claro, eheh
Agradeço a atenção!! Grande abraço e boa semana a todos,
Renato
----- Original Message -----
Sent: Sunday, August 28, 2005 9:32
AM
Subject: [obm-l] Re: [obm-l]
demonstração
Sinceramente eu não entendi o que vc fez ali com
as constantes, poderia explicar melhor????
Acho que dá pra pensar assim tbm(alguem me
corrija se estiver errado...)
Se a(xo) + b(yo) +c = 0
apartir de (xo,yo) vc obtém (xo + bt, yo - at)
tal que
a(xo + bt) + b( yo - at) + c = 0
logo, a cada t inteiro vc tem novos ptos de
coordenadas inteiras. Como Z é infinito....
[]´s
Igor
----- Original Message -----
Sent: Sunday, August 28, 2005 6:07
PM
Subject: [obm-l] demonstração
Caríssimos,
Tal problema estava na terceira fase da olimpíada de matemática da
Unicamp, elaborada por A. C. Patrocínio.
"Sejam a, b e c números naturais não-nulos e suponha que a reta ax+by+c=0
passe pelo ponto (xo,yo) com xo e yo inteiros. Mostre que a mesma reta passa
por infinitos pontosde coordenadas inteiras."
Não sei se está correta minha resolução, que foi a de isolar xo e yo,
afinal são raízes da equação. Somei então duas constantes inteiras, k' e
k'', uma a xo e outra a yo. Isolando novamente xo e yo, acrescidos agora
desta constante, e colocando-os de volta na equação, obtem-se
a(xo+2k') + b(yo+2k'') + c = 0
o que nitidamente mostra que (xo+2k';yo+2k'') é outra raiz da equaçao,
outro ponto de inteiros pelo qual a reta passa. E assim, por indução,
temos que ha infinitos pontos de coordenadas inteiras que satisfazem
ax+by+c=0.
Será que poderiam comentar a resolução? Haveria uma interpretação
geométrica? Pensei em semelhança de triângulos, para fazer a mesma
demonstraçao de um modo pouco mais elegante...
Abraço a todos, agradeço previamente,
Renato
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Date: 26/8/2005
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