Re: [obm-l] convergencia da sequencia das derivadas

[Bernardo Freitas Paulo da Costa <bernardofpc@xxxxxxxxx>]

Bom, apesar de o Cláudio ter muito bem explicado porque precisa da
hipótese de convergência de f_n(u) para algum u, existe ainda um pouco
de utilidade para este teorema, uma vez que ele normalmente é usado
para provar convergência de funções definidas por integrais, que então
tem todas um ponto comum (por exemplo, valem zero no ponto inicial no
caso de funções \int_a^x g_n(t) dt)

Tentando fazer uma demostração, o importante da convergência em um
ponto da série f_n(u) é poder usar justamente uma idéia de "trocar
derivada com integral", usando que você tem um ponto (este u especial)
onde as séries coincidem no infinito (ou seja, para n suficientemente
grande, | f_n(u) - f(u) | < eps/2), e do argumento de convergência
das derivadas, você pode definir uma
f(u+h) = f(u) + \int_0^h g(u+t) dt
Daí, você deve achar algo como | f_n(u+h) - f(u+h) | = | \int_0^h
g_n(u+t)dt - \int_0^h g(u+t)dt | + | f_n(u) - f(u) |. Da convergência
uniforme das g_n, você tem a convergência da integral da diferença para
zero, e portanto você (se quiser que f_n(u+h) -> f(u+h) ) tem que
ter também convergência de f_n(u) para f(u). Repare que em geral pode
ser fácil achar um ponto onde estas funções coincidem, utilizando
alguma particularidade das funcões g_n.

Abraços,
-- 
Bernardo Freitas Paulo da Costa

On 8/16/05, claudio.buffara <claudio.buffara@terra.com.br > wrote:

 

De:	owner-obm-l@mat.puc-rio.br

Para:

"OBM-l (E-mail)" obm-l@mat.puc-rio.br

Cópia:

Data:

Tue, 16 Aug 2005 11:36:41 -0300

Assunto:

[obm-l] convergencia da sequencia das derivadas

> Bom dia a todos

>

> Seja f_n uma sequencia de funcoes definidas e diferenciaveis em um intervalo

> I de R. Suponhamos que a sequencia das derivadas f'_n convirja uniformemente

> em I para uma funcao g. Hah um teorema que diz que, se a sequencia de numero

> reais f_n(u) convergir para algum u de I, entao f_n converge uniformemente

> em I para uma funcao f tal que f' = g em I. Esta ultima condicao eh

> realmente essencial?

 

Sim. Suponha que f_n: I -> R é dada por:

f_n(x) = x + (-1)^n.

Cada f_n é diferenciável e (f_n') converge uniformemente para a função constante e igual a 1. No entanto, (f_n) não converge.

Repare que, qualquer que seja u em I, f_n(u) não converge.

 

Se soubermos que f'_n converge uniformemente em I, já

> podemos entao fazer alguma inferencia quanto aa convergencia das primitivas?

 

Não, conforme o exemplo acima.

 

> Se adicionarmos a hipotese de as f'_n sao continuas, temos entao alguma

> conclusao interessante, alem de que g eh continua?

>

Não que eu saiba. É claro que f_n' contínua ==> f_n' integrável. Mas continuamos a precisar da convergência de (f_n(u)) para algum u.

 

> Eu acho que hah um teorema que se refere ao caso em que as f'_n sao

> Lipschitz, mas nao sei qual eh.

>

Me parece que a condição de (f_n(u)) ser convergente para algum u permanece necessária.

 

[]s,

Claudio.