| De: |
owner-obm-l@mat.puc-rio.br |
| Para: |
"OBM-l (E-mail)"
obm-l@mat.puc-rio.br |
| Data: |
Tue, 16 Aug 2005
11:36:41 -0300 |
| Assunto: |
[obm-l]
convergencia da sequencia das derivadas |
> Bom dia a todos
>
> Seja f_n uma sequencia de funcoes definidas e diferenciaveis em um
intervalo
> I de R. Suponhamos que a sequencia das derivadas f'_n convirja
uniformemente
> em I para uma funcao g. Hah um teorema que diz que, se a sequencia
de numero
> reais f_n(u) convergir para algum u de I, entao f_n converge
uniformemente
> em I para uma funcao f tal que f' = g em I. Esta ultima condicao
eh
> realmente essencial?
Sim. Suponha que f_n: I -> R � dada por:
f_n(x) = x + (-1)^n.
Cada f_n � diferenci�vel e (f_n') converge uniformemente para a fun��o
constante e igual a 1. No entanto, (f_n) n�o converge.
Repare que, qualquer que seja u em I, f_n(u) n�o converge.
Se soubermos que f'_n converge uniformemente em I, j�
> podemos entao fazer alguma inferencia quanto aa convergencia das
primitivas?
N�o, conforme o exemplo acima.
> Se adicionarmos a hipotese de as f'_n sao continuas, temos entao
alguma
> conclusao interessante, alem de que g eh continua?
>
N�o que eu saiba. � claro que f_n' cont�nua ==> f_n' integr�vel. Mas
continuamos a precisar da converg�ncia de (f_n(u)) para algum u.
> Eu acho que hah um teorema que se refere ao caso em que as f'_n
sao
> Lipschitz, mas nao sei qual eh.
>
Me parece que a condi��o de (f_n(u)) ser convergente para algum u
permanece necess�ria.
[]s,
Claudio.